Непрерывность функции Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки Функция f(x) называется 1) она имеет предел в точке если 2) этот предел равен значению функции f(x) в точке непрерывной в точке Определение 1.

Замечания. 1. Для непрерывной функции символ lim предельного перехода и символ f функции можно менять местами. 2. Пусть Если нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция f(x) в точке имеет разрыв.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x. (). Приращение аргумента и функции - приращение аргумента - приращение функции f в точке, отвечающее приращению аргумента точки.

Условие непрерывности f(x) в точке Замечание.

Определение непрерывности через приращения аргумента и функции приращение функции в этой точке, стремится к нулю при. Определение 3. Функция f(x) называется если непрерывной в точке отвечающее приращениюаргумента,

Пример. Показать, что функция непрерывна в любой точке числовой оси. Решение.

Определение непрерывности на языке Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке для любого числа если существует число такое, что для всех, удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Определение непрерывности по Гейне Функция f(x) называется если для любой последовательности точек соответствующаяпоследовательность значений функции Пусть функция f(x) задана на произвольном множестве и пусть точка Определение 4. непрерывной в точке сходящихся к точке сходится к точке

Пример. Функция Дирихле По определению Гейне функция Дирихле не является непрерывной в любой точке

Непрерывность в точке

Локальные свойства функции, непрерывной в точке Теорема 13. Если функция то существует такое, что для всех x из интервала 1)непрерывна в точке 2)

Доказательство. Зададим Пусть По определению непрерывности f(x) в точке

Устойчивость знака непрерывной функции Доказательство следует из теоремы 13, если задать Если функция 1)непрерывна в точке 2) то существует окрестность точки в которой функция 1) не обращается в нуль 2) сохраняет один и тот же знак (знак числа Теорема 14.

Основные элементарные функции и их непрерывность

Степенная функция Область определения: Монотонно возрастает, если и монотонно убывает, если

Область определения: нечётное чётное

Показательная функция Область определения: Монотонно возрастает, если и монотонно убывает, если а- основание степени

Логарифмическая функция Область определения: а- основание логарифма Монотонно возрастает, если и монотонно убывает, если обратная функция для

Тригонометрические функции Область определения: Периодическая синусоида Область определения: Периодическая

Тригонометрические функции Область определения: Периодическая Область определения: Периодическая

Обратные тригонометрические функции монотонно возрастает. Область определения: Область значений:

Функции, Утверждение. Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своих областей определения. конечного числа арифметических операций или которые получены из основных с помощью операций взятия функции от функции, применённое конечное число раз, называются элементарными функциями.

Доказательство. Покажем непрерывность функции Докажем неравенство. О А В С Пусть

ВозьмёмЗададим приращение По теореме о пределе промежуточной функции непрерывна в любой точке R.

Замечательные пределы

1-й замечательный предел. А В О С Разделим на Верно для и верно для Функция непрерывна в любой точке x, в том числе в точке x=0. По теореме о пределе промежуточной функции

2-й замечательный предел Нам известен предел последовательности Докажем для Рассмотрим случай по т. 4 ПустьЗададим

Операции над непрерывными функциями

Арифметические операции над непрерывными функциями Пусть функция и определены в некоторой окрестности точки Если и непрерывны в точке Теорема 15. то также непрерывны в точке их сумма разность произведение частное

Доказательство. Пусть и непрерывны в точке и По теореме 14 (устойчивость знака непрерывной функции) окрестность точки определена в окрестности По теореме о пределе частного По определению непрерывности Функциянепрерывна в точке Докажем для

Сложная функция. Непрерывность сложной функции Пусть функция задана на множестве -множество значений u. Пусть функция задана на множестве... x u y x E Функция - сложная функция от x. Пример.

Переход к пределу под знаком непрерывной функции Если Теорема 16. 1) функция в точке имеет предел, равный числу А, то функция в точке имеет предел, равный 2) функция непрерывна в точке

Доказательство. непрерывна в точке u=A. По условию Правило перехода под знаком непрерывной функции.

Пример. Показать, что Решение. Функция -сложная: Функция непрерывна в точке u=e.

Непрерывность сложной функции Теорема 17. Если функция то сложная функция а функция непрерывна в точке

Доказательство. Функция По теореме 16 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции Функция непрерывна в точке

Непрерывность функции определения непрерывности в точке, локальные свойства непрерывности, основные элементарные функции, замечательные пределы, арифметические операции над непрерывными функциями, сложная функция и её непрерывность.