1 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКОГО И УСЛОВНО- ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЙ В СПУТНИКОВОМ ВАРИАНТЕ ДВУКРАТНО- ОСРЕДНЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ Виктория И. ПРОХОРЕНКО ИКИ РАН Семинар «Механика, Управление, Информатика, 28 октября 2004 Институт Космических Исследований Российской Академии Наук

2 Аннотация (1из 3) Рассматривается параметрический анализ эволюции орбитального элемента ( долготы восходящего узла орбиты спутника на плоскости орбиты возмущающего тела) в рамках ограниченной двукратно осредненной задачи трех тел. В качестве параметров используются значения интегральных констант дух первых интегралов c 1, c 2. Этот анализ является составным элементом в решении практической задачи исследования эволюции орбит ИСЗ и времени их существования с учетом влияния прецессии орбиты Луны. Численные эксперименты на примерах ИСЗ серии ПРОГНОЗ позволили обнаружить существенную роль параметра, определяющего эволюцию углового расстояние между линиями узлов орбиты спутника и орбиты Луны на плоскости эклиптики. 2

3 Для исследования эволюции орбитального элемента вводится упрощенная аппроксимация параметра, благодаря которой удалось получить выражение зависимости параметра от времени через элементарные функции. Эволюция параметра представлена в виде суммы ротационной и либрационной составляющих. Получено выражение для периода ротационной составляющей эволюции параметра.. Проведено исследование области применимости предлагаемой упрощенной аппроксимации. Аннотация (2 of 3) 3

4 Изучение спектра частот ротационной и либрационной составляющей процесса эволюции параметра для всей области возможных значений параметров c 1, c 2 позволяет выделить те значения параметров c 1, c 2, которым соответствуют орбиты с периодическим характером эволюции параметра, среди тех значений, которым соответствуют орбиты с условно-периодическим характером эволюции. Аннотация (3 of 3) 4

5 ИСЗ ПРОГНОЗ-2 (с 1 =0.068, с 2 =-0.025) Эволюция радиуса перицентра и время существования фактического и гипотетического вариантов орбиты Эволюция гипотетической орбиты под влиянием только солнечных гравитационных возмущений Старт , = 70, Tb = 7 лет Гипотетический старт , = 247, rTb = 56 лет rTb = 43 года

6 Полученные М.Л. Лидовым [1961] аналитические решения двукратно осредненной ограниченной задачи трех тел в хилловском приближении a - большая полуось, = 1 - e 2, e – эксцентриситет; i,, и - наклонение, аргумент перицентра и прямое восхождение восходящего узла орбиты ИСЗ, отнесенные к плоскости орбиты возмущающего тела; N – номер витка; 1 – параметр орбиты возмущающего тела; M, M 2 – масса центрального и возмущающего тел Критическое значение *, соответствующее соударению спутника с центральным телом радиуса R: * = 1- (1-R/a) 2 С1С1 С2С2 Область возможных значений интегральных констант с 1, с 2

7 Зависимость эволюции орбитальных элементов от времени 7 Время и период эволюции орбитальных элементов (, i), определяемые квадратурой (2), в работе Ю.Ф. Гордеевой [1968] выражены через неполный и полный эллиптические интегралы первого рода, а значения параметра определяются обращением неполного эллиптического интеграла первого рода и выражаются через эллиптическую функцию Якоби sn. Эволюция параметра, определяемая квадратурой (3), в работе М.А. Вашковьяка [1999] выражена через через эллиптические интегралы первого и третьего рода и эллиптические функции Якоби.

8 Выражение для периода эволюции тех орбитальных элементов, эволюция которых носит либрационный характер (, i), через параметр подобия возмущений L D, большую полуось орбиты спутника и удвоенный полный эллиптический интеграл первого рода ( L C (с 1,с 2 ) ) Воспользуемся полученным Гордеевой выражением для периода T: Преобразуем выражение для А, введем параметр подобия возмущений L D Получим безразмерный период T C :

9 Аппроксимация параметра Применим следующую аппроксимацию для параметра : Это позволяет выразить зависимость параметра от безразмерного времени через элементарные функции. Введем угол, пропорциональный безразмерному времени

10 Выражение для в функции параметра

11 Представление параметра в виде суммы ротационной и либрационной составляющих в функции параметра - константа

12 Период ротационной составляющей эволюции параметра Безразмерный период ротационной составляющей параметра

13 Параметры L C (с 1,с 2 ), L B (с 1,с 2 ) в с с 1 > 0.6 Линии уровня функции L C (с 1,с 2 ) показаны на интервале (6, 20) с единичным шагом. Линии уровня функции L B (с 1,с 2 ) показаны на интервале (12, 32) с шагом 2.

14 Квантовые числа n и m ротационной и либрационной составляющих эволюции долготы восходящего узла орбиты спутника на плоскости орбиты возмущающего тела Значения n и m, отмеченные кружками со звездочкой, реализуются как при положительных, так и при отрицательных значениях с 2. Пустыми кружками отмечены сочетания n и m, реализующиеся только в области положительных значений с 2.

15 Цветные линии представляют значения параметров с 1,с 2, соответствующих периодическим орбитам с квантовыми числами n = 1, m = 1, 2, 3

16 Значения параметров с 1,с 2, соответствующих периодическим орбитам с квантовыми числами n = 2, m = 3, 5, 7

17 Значения параметров с 1,с 2, соответствующих периодическим орбитам с квантовыми числами n = 3, m = 4, 5, 7, 8, 10, 11

18 Значения параметров с 1,с 2, соответствующих периодическим орбитам с квантовыми числами n = 4, m = 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

19 Значения параметров с 1,с 2, соответствующих периодическим орбитам с квантовыми числами n = 12, m = 11, 13, 17, 19

20 Сопоставление результатов расчетов эволюции параметра, полученных двумя способами: 1.Путем обращения эллиптических интегралов первого рода [Гордеева, 1968] 2.Путем аппроксимации = sin На следующем слайде результаты, полученные первым способом, показаны сплошной линией, вторым способом - пунктирной линией

21 Параметрический анализ эволюции c 1 =0.01 c 1 =0.1 c 1 =0.5 c 1 =0.8 c 1 =0.4 c 1 =0.6

22 Модуль эллиптического интеграла k 2 в функции с 1, с 2 - значения с 1, с 2, для которых проведены расчеты эволюции орбитальных элементов в рамках двукратно-осредненной задачи трех тел с использованием аппроксимации: = sin. Результаты этих расчетов представленные на следующих слайдах Линии уровня показаны для значений k 2 = 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8.

23 c 2 >0 c 2

24 c 1 = 0. 1 c 2 >0 c 2

25 c 1 = 0. 2 c 2 >0 c 2

26 c 1 = 0.4 c 1 = 0.5 c 2 > 0, c 1 = 0.4, 0.5

27 c 1 = 0.6 c 1 = 0.8 c 2 > 0, c 1 = 0.6, 0.8

28 Эволюция наклонения i c 1 = c 2 < 0 c 2 > 0 c 1 = 0.001; c 1 = 0.1 c 1 = 0.2 c 1 = 0.4 c 1 = 0.2 c 1 = 0.1 c 1 = 0.4

29 Вспомогательные функции 1 (t), 2 (t) и 1m (t), 2m (t) для исследования эффекта от прецессии орбиты Луны Для сопоставления аналитических решений с результатами численного интегрирования полной системы уравнений будем в процессе интегрирования следить за поведением функции 1 (t) и 2 (t) с начальными значениями 1 (t 0 ) = c 1 и 2 (t 0 ) = c 2 1 (t) = cos 2 i ; 2 (t) = (1 - )(2/5 - sin 2 sin 2 i). Параллельно рассмотрим другую пару функций 1m (t), 2m (t): 1m (t) = cos 2 i m ; 2m (t) = (1 - )(2/5 - sin 2 m sin 2 i m ), где индекс m маркирует орбитальные элементы, измеренные относительно плоскости орбиты Луны. Из определения этих пар функций следует, что области их возможных значений совпадают с областью допустимых значений параметров c 1, c 2. 29

30 ИСЗ ПРОГНОЗ-2 (с 1 =0.068, с 2 =-0.025) с гипотетической датой старта R p (R E ) Сопоставление результатов численного расчета эволюции орбитальных элементов с учетом влияния гравитационных возмущений от Луны и Солнца (штрих-пунктирная линия) и результатов аппроксимации, построенной на основе значений функций 1, 2 в точках R p max. (сплошная линия красного цвета) 1 2

31 Резонансы m, n частот прецессии орбиты Луны и эволюции ротационной составляющей параметра и для орбит с большой полуосью a = 16 R E

32 Значения c 1, c 2, соответствующие резонансам 1:1 и 2:1 частот прецессии орбиты Луны и эволюции ротационной составляющей параметра при a = 16 R E

33 Значения c 1, c 2, соответствующие резонансам 1:1 и 2:1 частот прецессии орбиты Луны и эволюции ротационной и либрационной составляющих параметра при a = 16 R E Каждая из линий соответствует орбитам с условно периодическим характером эволюции. В областях, выделенных овалами, находятся точки лежащие на пересечении этих линий. Соответствующие значения c 1, c 2 определяют орбиты с периодической эволюцией.

34 Заключение Рассмотренный параметрический анализ является составным элементом в решении практической задачи исследования механизма влияния прецессии орбиты Луны на характер эволюции орбит ИСЗ и время их баллистического существования. Автор выражает благодарность Р.Р. Назирову за поддержку и внимание и интерес к работе. 34

35 Список литературы Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел. // Искусственные спутники Земли С. 5. Моисеев Н.Д. О некоторых основных упрощенных схемах небесной механики, получаемых при помощи осреднения ограниченной круговой проблемы трех точек Труды ГАИШ, т.15, ч.1, с.100, Гордеева Ю.Ф. Зависимость элементов от времени в долгопериодических колебаниях в ограниченной задаче трех тел // Космич. исслед Т С Вашковьяк М.А. Об эволюции орбит далеких спутников Урана // Письма в "Астрон. журн." Т С Прохоренко В.И. Геометрическое исследование решений ограниченной круговой двукратно осредненной задачи трех тел // Космич. исслед Т С Прохоренко В.И. Исследование периодов эволюции эллиптических орбит в двукратно осредненной задаче Хилла // Космич. исслед Т С. 22. Назиров Р.Р., В.И. Прохоренко, А.И. Шейхет Ретроспективный геометрический анализ долгопериодической эволюции орбит и времени баллистического существования ИСЗ серии ПРОГНОЗ // Космич. исслед Т С Вашковьяк М.А. Тесленко Н.М. Построение периодически эволюционирующих орбит спутника сжатой планеты в осредненной задаче Хилла с учетом прецессии орбиты возмущающей точки // Письма в Астрон. журн Т , С