ОБ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ ИСЗ ПОД ВЛИЯНИЕМ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ ЛУНЫ И СОЛНЦА И ПРОБЛЕМЕ ВЫБОРА ДОЛГОЖИВУЩИХ ВОСОКО АПОГЕЙНЫХ ОРБИТ Виктория И. ПРОХОРЕНКО. - презентация

1 ОБ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ ИСЗ ПОД ВЛИЯНИЕМ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ ЛУНЫ И СОЛНЦА И ПРОБЛЕМЕ ВЫБОРА ДОЛГОЖИВУЩИХ ВОСОКО АПОГЕЙНЫХ ОРБИТ Виктория И. ПРОХОРЕНКО ИКИ РАН Семинар «Механика, Управление, Информатика, 25 марта 2004 Институт Космических Исследований Российской Академии Наук Памяти Павла Ефимовича ЭЛЬЯСБЕРГА

2 Аннотация (1из 2) Речь идет о практической задаче выбора долгоживущих орбит ИСЗ с большим эксцентриситетом и наклонением. Орбиты ИСЗ серии ПРОГНОЗ, запущенные с 1972 по 1995 г.г. послужили экспериментальным материалом для исследований. На первой стадии исследований были использованы аналитические решения двукратно-осредненной ограниченной круговой проблемы Хилла, полученные М.Л. Лидовым [1961]. Геометрическая интерпретация этих решений позволила разработать геометрический метод анализа долгопериодической эволюции, и времени существования орбит ИСЗ. Предположение о компланарности орбиты Луны и плоскости эклиптики позволило применить упомянутые решения задачи трех тел к задаче четырех тел (Земля, Спутник, Луна Солнце). 2

3 Сравнение аналитических решений с результатами численного интегрирования с учетом реальных гравитационных возмущений от Луны и Солнца позволило обнаружить существенную роль некомпланарности орбит рассматриваемых возмущающих тел. Результаты исследования влияния прецессии орбиты Луны на характер эволюции и время существования орбит ИСЗ представлены во второй части доклада Аннотация (2 of 2) 3

4 П.Е. ЭЛЬЯСБЕРГ и М.Л. ЛИДОВ

5 Введение Эволюция эллиптической орбиты точки P (спутник нулевой массы) рассматривается в рамках ограниченной круговой проблемы трех тел. Точка P движется в поле притяжения центральной точки S (массы M) под влиянием гравитационных возмущений со стороны третьей точки J (массы M 1 ), которая движется вокруг точки S по круговой орбите радиуса a 1. М.Л. Лидов [1961] получил аналитическое решение двукратно- осредненной системы дифференциальных уравнений движения точки P в приближении Хилла, полагая что отношение большой полуоси a орбиты точки P удовлетворяет соотношению: = a/a 1

6 Полученные М.Л. Лидовым [1961] аналитические решения двукратно осредненной ограниченной задачи трех тел в хилловском приближении a - большая полуось, = 1 - e 2, e – эксцентриситет; i,, и - наклонение, аргумент перицентра и прямое восхождение восходящего узла орбиты ИСЗ, отнесенные к плоскости орбиты возмущающего тела; N – номер витка; 1 – параметр орбиты возмущающего тела; M, M 2 – масса центрального и возмущающего тел Критическое значение *, соответствующее соударению спутника с центральным телом радиуса R: * = 1- (1-R/a) 2 С1С1 С2С2 Область возможных значений интегральных констант с 1, с 2

7 I. Основные закономерности эволюции высоты перицентра, использованные в процессе проектирования орбит серии «ПРОГНОЗ»

8 Короткопериодическая эволюция высоты перицентра за виток Знак изменения высоты перицентра за виток h p зависит от угла между осью и проекцией вектора возмущающего ускорения на плоскости O : 0 < h p при I или III четверти h p < 0 при II или IV четверти *) Правая система координат O : начало координат совпадает с притягивающим центром, плоскость O совпадает с плоскостью орбиты спутника, ось направлена в точку перицентра, ось - по нормали к плоскости орбиты. В книге П.Е. Эльясберга [1965] приведены оценки модуля максимального отклонения высоты перицентра за виток h p max под влиянием гравитационных возмущений от Луны и Солнца для орбит с высотой апогея (перигея) от до км (от 200 до км). Изменение высоты перицентра орбиты спутника за виток h p зависит от значений большой полуоси спутника, эксцентриситета, и положения вектора возмущающего ускорения относительно орбитальной системы координат O *)

9 Долгопериодическая эволюция высоты перицентра Знак долгопериодического изменения высоты перицентра зависит от значения аргумента перицентра, измеренного относительно линии узлов орбиты спутника на плоскости орбиты возмущающего тела: 0 < при II или IV четверти < 0 при I или III четверти В книге П.Е. [1965] показано, что max = ½ h p max

10 Эволюция радиуса перицентра r p и время существования орбит ИСЗ серии «ПРОГНОЗ» (1972 –1995) Численное интегрирование полной системы дифференциальных уравнений выполнено с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца P1 P2 P3 P4,5,7 P6 P8 P10 I-1 Типичные начальные значения орбитальных элементов: < a (R E ) < 16.74; < e 0 < 0.936; i e0 = 65 (до P10); e0 = 290 (до P7). Угловые элементы измерены относительно плоскости земного экватора

11 II. Геометрическое исследование первых интегралов задачи Хилла в сферической системе координат O i : = 1 - e 2 (0 1) - радиус; i (0 i 180 ) - коширота ; (0 i 360 ) - широта

12 Геометрическая интерпретация первых интегралов c 1, c 2 12 Интегральные кривые, соответствующие линиям пересечения поверхностей c 2 = (1- ) (2/5- sin 2 sin 2 i) с поверхностями c 1 = 0 (i = 90 ) (c) и c 1 = 0.2 (d) Сечения поверхностей вращения c 1 = cos 2 i плоскостями = 0, 180 (а) и = 90, 270 (b). Серым тоном здесь и далее выделена область, соответствующая значениям c 2 < 0 а b d c = 180 = 0 = 270 = 90

13 Геометрическая интерпретация соударения спутника с центральным телом конечного радиуса R Косой штриховкой показана область, соответствующая орбитам с конечным временем баллистического существования для a * = 8, определяемая неравенствами: c 1 (1 - *)(c 1 / * - 0.6) Гордеева [1968] a * = 8, * = 0.234, c 1 =0.1, c 2 =0.1; c 2 = * = (2a * - 1)/a * 2, a * = a/R a*a*

14 Соотношение между областями возможных значений начальных орбитальных элементов 0, i 0, 0 и интегральных констант c 1, c 2 0 = = superposition 14 a b cd c 1 = 0 cos 2 i 0, c 2 = (1 - 0 ) (2/5 - sin 2 i 0 sin 2 0 ) Сферическая поверхность 0 =0.4

15 III. Параметрический анализ периодов долговременной эволюции элементов, i и мажоранты времени баллистического существования

16 Зависимость эволюции орбитальных элементов от времени 16 Время эволюции орбитальных элементов можно представить в виде произведения независимых параметров, используя квадратуру (2) и теорию подобия и размерностей Ю.Ф. Гордеева [1968] выразила квадратуру L через эллиптический интеграл первого рода

17 Период T * долгопериодической эволюции орбитальных элементов (, i) и безразмерный конфигурационный параметр подобия орбит L C (c 1, c 2 ) Конфигурационный параметр подобия орбит L C (c 1, c 2 ) зависит только от c 1, c 2, его знак совпадает со знаком параметра c 2, а абсолютное значение равно удвоенной квадратуре L, вычисленной в пределах min, max 17 T * = 4/15 a * -3/2 L C (c 1, c 2 ) /L D, L C (c 1, c 2 ) = 2L(c 1, c 2, min, max, /2) L C (c 1,c 2 ) сечение плоскостями c1 (c1

18 Мажоранта T B* времени баллистического существования и безразмерный конфигурационный параметр подобия орбит L B (c 1, c 2, a * ) Конфигурационный параметр L B (c 1, c 2, a * ) имеет тот же знак, что и c 2, а абсолютное значение, равное удвоенной квадратуре L вычисленной в пределах *, max, с начальным значением 0, определенным как функция от * (при sin 2 0 ( *) < 0) 18 T B* = 4/15 a * -3/2 L B (c 1, c 2, a * ) /L D, L B (c 1, c 2, a * ) = 2L(c 1, c 2, *, max, 0 ( *)) Изолинии для поверхностей L C (c 1, c 2 ) и L B (c 1, c 2, a * ) при a * = 16 L B определено только для c 1, c 2, при которых min < *< max Линии соответствуют значениям уровня от 5 to 13 с единичным шагом

19 Свойства функций L C (c 1,c 2 ) и L B (c 1,c 2,a * ) Острый пик при c 2 = 0 (при c1 < 0.6) Зеркальная квазисимметрия относительно плоскости c 2 = 0 в окрестности c 2 = 0 (при c 1

20 IV. Анализ семейства орбит ИСЗ серии ПРОГНОЗ ( a * = 16.6, * = 0.117) и метод выбора долгоживущих орбит Для каждой орбиты значения параметров c 1, c 2 показаны черными точками и маркированы номером ИСЗ

21 Область значений с 1, с 2, соответствующих орбитам с конечным временем существования Геометрический метод выбора долгоживущих орбит Большая полуось a = 8 R E * = Высота перигея h p0 = 5000 km e 0 = = L c (c 1,c 2 ) L B (c 1,c 2, a * )

22 V. Сопоставление аналитических решений с результатами численного интегрирования полной системы дифференциальных уравнений с учетом реальных возмущений от Луны и Солнца

23 Безразмерный параметр подобия возмущений L D для системы тел: Земля, Спутник, Луна, Солнце l =R E = m, =365 сут.; = m 3 /s 2 (Земля); 1 = m 3 /s 2, a 1 = m, 1 = 1 (Луна); 2 = m 3 /s 2, a 2 = m, 2 = 1 (Солнце). Система тел Земля–ИСЗ– Луна Земля– ИСЗ– Солнце Земля– ИСЗ – Луна +Солнце 123 LDLD Значение L D в третьей колонке представляет собой сумму значений, расположенных в колонках 1 и 2 Использованы следующие характерные размер l, время, и динамические параметры центрального и возмущающих тел: 23

24 Сопоставление времени существования ИСЗ ИНТЕРБОЛ-1 под влиянием возмущений от Луны и Солнца вместе и отдельно, рассчитанного по аналитическим формулам и по результатам численного интегрирования с учетом реальных возмущений Возмущающее тело ЛунаСолнце Луна+ Солнце Учет реальных возмущений Аналитическое решение Эволюция радиуса перигея r p под влиянием Луны и Солнца отдельно и вместе Солнце Луна Луна + Солнце r p = 6 R E

25 Численный расчет (с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца) времени баллистического существования для гипотетических версий орбит v1-v7 типа ИНТЕРБОЛ –1 с различными значениями аргумента перицентра 314 0e 290, при фиксированных значениях остальных орбитальных элементов (a =16.12 R E, e 0 = 0.93, i 0e = 62.9, 0e = 260, 0 = 24.5 ) и датой старта ИВ e =

26 Сопоставление численных расчетов времени баллистического существования T BR с аналитическим расчетом мажоранты T B* (с 1, c 2, a * ) ИНТЕРБОЛ-1: a * = 16.12, c 1 = , с 2 = 0.247, e 0 = 0.93, 0 = 0.123, 0 = и версии v1-v7 со значениям (0.14 c ) Сплошная (штриховая) линия показывает период эволюции T * (мажоранту времени баллистического существования T B* ) в функции параметра c 2. Расчетное время баллистического существования T BR показано в виде дискретных символов в функция значения параметра c 2, определяемого начальными значениями орбитальных элементов. Светлые (темные) значки показывают расчетное время баллистического существования T BR, связанное с ротационным (либрационным) типом эволюции аргумента перицентра. 26 Это позволило обнаружить «сдвиг» функции T BR относительно функции T B* T *,T B*,T BR

27 VI. Исследование влияния прецессии орбиты Луны на эволюцию орбитальных элементов ИСЗ и время их существования (Учитывается наклонение 5.15 плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики и прецессия орбиты Луны с периодом года)

28 Вспомогательные функции 1 (t), 2 (t) и 1m (t), 2m (t) для исследования эффекта от прецессии орбиты Луны Для сопоставления аналитических решений с результатами численного интегрирования полной системы уравнений будем в процессе интегрирования следить за поведением функции 1 (t) и 2 (t) с начальными значениями 1 (t 0 ) = c 1 и 2 (t 0 ) = c 2 1 (t) = cos 2 i ; 2 (t) = (1 - )(2/5 - sin 2 sin 2 i). Параллельно рассмотрим другую пару функций 1m (t), 2m (t): 1m (t) = cos 2 i m ; 2m (t) = (1 - )(2/5 - sin 2 m sin 2 i m ), где индекс m маркирует орбитальные элементы, измеренные относительно плоскости орбиты Луны. Из определения этих пар функций следует, что области их возможных значений совпадают с областью допустимых значений параметров c 1, c 2. 28

29 Параметр, отвечающий за сдвиг функции T BR относительно функции T B* Эволюция функций 1m (t), 2m (t) определяется эволюцией углового расстояния между восходящими узлами орбит спутника и Луны на плоскости эклиптики Для орбит с фиксированным начальным значением прямого восхождения восходящего узла 0 начальное значение (t 0 ) = 0 зависит от даты старта, которая в свою очередь определяет позицию восходящего узла орбиты Луны. Угловая скорость эволюции параметра определяется как разность между угловой скоростью эволюции прямого восхождения восходящего узла орбиты спутника и постоянной угловой скоростью прецессии орбиты Луны. Эволюция параметра в рамках двукратно осредненной проблемы Хилла определяется квадратурой (3). М.А. Вашковьяк [1999] выразил эту квадратуру через эллиптические интегралы первого и третьего рода. 29

30 Зависимость времени баллистического существования и поведения функций 1m (t), 2m (t) от начального значения параметра 0 C 2 > 0 Рассмотрены два варианта орбит с одинаковым значением c 1 = : IB1 - эквивалентен орбите ИСЗ ИНТЕРБОЛ-1 ( 0 = 339, c 2 = 0.247) v4 - отличается от первого только начальным значением аргумента перицентра ( 0 = 322.6, c 2 = 0.069). T *, T B*,T R*, годы 0 =78 0 = =40 Для каждой из орбит сделан расчет времени баллистического существования T BR для набора дат старта, обеспечивающего покрытие всего интервала возможных значений параметра 0 ( ). Для каждой орбиты значения T BR ( 0 ) отнесены к своему значению c 2 и маркированы значениями 0. Светлые (темные) значки соответствуют ротационному (либрационному) типу эволюции аргумента перицентра. v4 1, 1m 2, 2m

31 VII. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ о роли параметра 0 на примере других орбит серии ПРОГНОЗ

32 Цилиндрическая система координат O 1 1 = 0 1 = = 270 = 90 = 1 - e 2 (0 1) -радиус; (0 360 ) - долгота; 1 (0 1 1) – координата Z

33 Эффект от начального значения параметра 0 на примере ИСЗ ПРОГНОЗ-2 33 ПРОГНОЗ-2 (a*=16.7, *=0.116) 0 = 284, 0 = (t 0 )=c 1 =0.07, 1 (t 0 )=c 2 =-0.03 Характер эволюции параметров, и 1, 2 в зависимости от даты старта (определяющей значение параметра 0 ) Реальный запуск 29.VI.1972, 0 = 70 Время существования ~ 8 лет Гипотетический запуск 29.VI.1981, 0 = 247 Время существования ~ 60 лет

34 Эффект от начального значения параметра 0 на примере ИСЗ ПРОГНОЗ-6 Реальный запуск 22.IX.1977, 0 = 225. Время существования ~ 40 лет Гипотетический запуск 22.IX.1988, 0 = 80. Время существования ~ 7 лет ПРОГНОЗ-6 (a*=16.6, *=0.117) 0 = 268, 0 = (t 0 )=c 1 =0.05, 1 (t 0 )=c 2 = Характер эволюции параметров, и 1, 2 в зависимости от даты старта (определяющей значение параметра 0 )

35 Эволюция орбитальных элементов гипотетической версии орбиты ПРОГНОЗ-6 с датой старта = Время существования более 500 лет RpRp i 1, 1m 2, 2m

36 Гипотетическая версия орбиты ПРОГНОЗ-6 с датой старта Эволюция параметров 1, 2, 1m, 2m и орбитальных элементов, на интервале времени 1978 – = 90 =1

37 Заключение Сопоставление аналитических решений двукратно осредненной проблемы Хилла с решениями, учитывающими возмущения от реальных внешних тел, позволило выделить параметры, от которых зависит характер эволюции орбитальных элементов и время баллистического существования ИСЗ, обусловленное гравитационными возмущениями со стороны внешних тел (Луны и Солнца). Такими параметрами являются безразмерные константы первых интегралов двукратно-осредненной задачи c 1 (0 c 1 1), c 2 (-0.6 c 2 0.4), безразмерный параметр 1 < a *, равный отношению большой полуоси орбиты спутника к радиусу центрального тела, и параметр 0 ( ) – начальное угловое расстояние между восходящими узлами орбит ИСЗ и Луны на эклиптике. 37

38 Список литературы Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел. // Искусственные спутники Земли С. 5. Моисеев Н.Д. О некоторых основных упрощенных схемах небесной механики, получаемых при помощи осреднения ограниченной круговой проблемы трех точек Труды ГАИШ, т.15, ч.1, с.100, Гордеева Ю.Ф. Зависимость элементов от времени в долгопериодических колебаниях в ограниченной задаче трех тел // Космич. исслед Т С Вашковьяк М.А. Об эволюции орбит далеких спутников Урана // Письма в "Астрон. журн." Т С Прохоренко В.И. Геометрическое исследование решений ограниченной круговой двукратно осредненной задачи трех тел // Космич. исслед Т С Прохоренко В.И. Исследование периодов эволюции эллиптических орбит в двукратно осредненной задаче Хилла // Космич. исслед Т С. 22. Назиров Р.Р., В.И. Прохоренко, А.И. Шейхет Ретроспективный геометрический анализ долгопериодической эволюции орбит и времени баллистического существования ИСЗ серии ПРОГНОЗ // Космич. исслед Т С Вашковьяк М.А. Тесленко Н.М. Построение периодически эволюционирующих орбит спутника сжатой планеты в осредненной задаче Хилла с учетом прецессии орбиты возмущающей точки // Письма в Астрон. журн Т , С