{ определители 1-го, 2-го и 3-го порядков – определитель n-го порядка – миноры и алгебраические дополнения – разложение определителя по элементам строки или столбца – свойства определителя – символ Кронекера – примеры }

Всякое такое произведение содержит n сомножителей и может быть записано в виде, где j 1, j 2,..., j n является перестановкой чисел 1, 2,..., n. Определителем квадратной матрицы A = ( a ij ), i, j = 1,2,.., n называется сумма всех произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Характер четности числа инверсий определяет t, 0 – если подстановка j 1, j 2, …., j n четная, и 1 – если подстановка j 1, j 2, …., j n нечетная. Произведение, где t – число инверсий в перестановке j 1, j 2, …., j n называется членом определителя матрицы A.

Для n = 1 : Для n = 2 : Для n = 3 : Пример:

Минором элемента определителя называют определитель матрицы, получаемой после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент. Элементы минора сохраняются в том же порядке и взаимном расположении. i j Алгебраическое дополнение для элемента a ij определяется через минор по формуле:

Найти минор и алгебраическое дополнение для элемента a 23 матрицы A

1) Разложение определителя матрицы A по строке i Пример: 2) Разложение определителя матрицы A по столбцу j Используется метод разложения по элементам первой строки

1) Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании 2) Если все элементы какой-либо строки (столбца) – нули, то величина определителя равна нулю 3) Если в матрице меняются местом любые две строки (столбца), то определитель меняет свой знак 4) Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю 5) Общий множитель всех элементов произвольной строки (столбца) можно вынести за знак определителя

6) Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю 7) Определитель не меняется от прибавления к какой-либо строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число 8) Определитель не меняется от прибавления к какой-либо строке (столбцу) линейной комбинации других его строк (столбцов), 9) Если какая либо строка (столбец) определителя есть линейная комбинация других строк (столбцов), то величина определителя равна нулю

Вычислить определитель матрицы : Умножим первую строку на (-3 ) и прибавим ко второй Из третьей строки вычтем первую

Используя метод разложения для вычисления det A по столбцу j выведем одно соотношение, которое будет использовано при нахождении обратной матрицы. Заменим j – ый столбец определителя столбцом b 1, b 2, …, b n Если в качестве столбца берется k столбец определителя d, и k не равно j, то получим Вводится символ Кронекера: