XI. Одночастичная функция Грина. (Взаимодействующие фермионы.) -Смотрите, это месяц- Зевнув, сказал один. Другой сказал: - Тарелка!- А третий крикнул: - Блин! С.Маршак Определение одночастичной функции Грина математическим выражением. Вспомним определение операторов рождения и уничтожения c i = k i -k F a i + k F -k i b i +, c i + = k F- k i a i + + k i- k F b i. (11.1) В представлении Гейзенберга: c i 1 + (t 1 ) = exp(iHt 1 ) c i 1 + exp(-iHt 1 ), c i 2 (t 2 ) = exp(iHt 2 ) c i 2 exp(-iHt 2 ); (11.2) Чтобы заменить словесное выражение формулой, нам придется ввести еще один новый оператор –оператор упорядочения во времени: T[A(t 1 ) B(t 2 )…] = (-1) P * Произведение операторов перегруппированных так, что время уменьшается слева направо (если никакие времена не совпадают) P – число перестановок, требующихся для установления операторов в нужном порядке.

T[A(t 1 ) B(t 2 )…] = (-1) P * Произведение операторов перегруппированных так, что в случае совпадающих времен операторы c + стоят слева от операторов c. Задача: Выписать T[c k 2 (t 2 ) c k 1 + (t 1 )] для случаев t 2 >t 1 и t 2 t 1. G(k 2,k 1, t 2 -t 1 ) = -i. (11.3) Здесь 0 точная волновая функция системы из N взаимодействующих частиц. G = G + (k 2,k 1, t 2 -t 1 ) = -i, t 2 >t 1. G = G - (k 2,k 1, t 2 -t 1 ) = i, t 2 t 1. (11.4) Определение (11.3) эквивалентно данному ранее словесному: G + (k 2,k 1, t 2 -t 1 ) = -i. exp(-iHt 1 ) | 0 > волновая функция основного состояния в момент времени t 1 c k 1 + exp(-iHt 1 ) | 0 > состояние, полученное добавлением к основному в момент t 1 избыточной частицы. exp(-iH(t 2 -t 1 ) c k 1 + exp(-iHt 1 ) | 0 > волновая функция системы в момент t 2 при условии, что в t 1 к основному состоянию добавлена избыточная частица.

c k 2 + exp(-iHt 2 ) | 0 > волновая функция системы с избыточной частицей в состоянии k 2 в момент времени t 2. < 0 |exp(iHt 2 ) c k 2 комплексно сопряженная функция Гамильтониан и графическое представление взаимодействия. H 1 = ½ klmn>k F V klmn a l + a k + a m a n + ½ klm>k F, n

Необходимо помнить порядок индексов: m -линия, входящая в нижнюю вершину, n –линия входящая в верхнюю вершину; соответственно, k- линия, выходящая из нижней вершины, а l –из верхней. Импульс, втекающий в точку взаимодействия, равен импульсу, вытекающему из нее. Закон сохранения импульса вместе с требованием о невозможности существования частицы и дырки в одном состоянии (частицы только выше, а дырки – только ниже ферми уровня) накладывает сильные ограничения на число и форму возможных диаграмм. В первом порядке (один акт взаимодействия) возможны всего четыре диаграммы, показанных в верхней части рисунка.

Закон сохранения импульса удобно включить в диаграммы Возможные вклады в функцию Грина от процессов первого порядка Частица с импульсом k в результате взаимодействия выбивает частицу из состояния l под уровнем ферми и мгновенно возвращает ее в то же состояние. Такие процессы называются процессами рассеяния вперед. (-1) l

Предпоследний сомножитель в (11.9) также равен (-1). Действительно, iG - 0 (l, t-t) = i*i exp(-i l *0) = -1. Не представляет труда выписать выражение для фурье-образа добавки функции Грина от пузыря (-1) [iG + 0(k, )]2 l

Поскольку гамильтониан взаимодействия не зависит от времени, то энергетический параметр, фигурирующий в фурье-образе функции Грина сохраняется. Энергия частиц не сохраняется! Сохранение энергетического параметра удобно учесть на диаграммах в (k, ) пространстве: Введенная в замкнутую систему энергия, естественно, сохраняется и даже если дробится, то сумма частей равна исходной избыточной энергии (этому утверждению и соответствует сохранение энергетического параметра. Энергия же виртуальных частиц, рождаемых под воздействием заданной частоты, никак не связана с этой частотой. Именно в этом смысле нужно понимать утверждение о несохранении энергии.

Таблица-шпаргалка:

11.3 Квазичастицы в приближении Хартри-Фока. Система фермионов, у которых максимальны два типа матричных элементов взаимодействия V klmn = mk nl V klkl + ml nk V kllk + малые члены. (11.10). Для плоских волн первый член связан с нулевой передаче импульса, а во втором, n+q=m. Приближение Хартри-Фока соответствовало учету только рассеяния вперед (первый член в (11.10)) и обменного взаимодействия (второй член в (11.10)), но не сводилось к первому порядку теории возмущений. На диаграммном языке это означает, что нам нужно для нахождения функции Грина просуммировать бесконечный ряд диаграмм, содержащий «пузыри» и открытые устрицы.

Бросается в глаза сходство изображенных выше диаграмм с уже встречавшимися диаграммами, описывавшими взаимодействие с внешним полем. Сходство это не случайно и означает, что приближение Хартри-Фока эквивалентно введению некоторого эффективного поля, создаваемого всеми частицами системы в точке расположения пробной частицы. G + (k, )= { – k - l

11.4 Еще раз о квазичастицах. Мы пользуемся понятием «квазичастица» в фермиевской жидкости в двух несколько различных смыслах. Во-первых, в случае квазичастиц ферми жидкости Ландау. При этом число квазичастиц равно числу исходных частиц и при нуле температуры они заполняют все состояния внутри ферми сферы. Тем не менее, предполагается, что реально наблюдаемы такого рода квазичастицы только вблизи ферми-поверхности (из-за конечности времени жизни). Ландаувские квазичастицы могли переходить в результате возбуждения в состояния над ферми-сферой, образуя пустые места внутри ее. При этом появляются возбуждения электронного и дырочного типа – квазичастицы во втором смысле. Описание на языке электронно-дырочных возбуждений имеет смысл только пока число квазичастиц мало по сравнению с числом частиц в системе, и оно справедливо только вблизи ферми-уровня и на сравнительно больших временах (голая частица одевается облаком за конечное время). Простой пример, возможно, реализуемый в ядерной материи. Примем, что только рассеяние вперед дает заметный вклад в энергию взаимодействия между частицами (хартриевский член во взаимодействии доминирует).

Следует суммировать диаграммы, изображенные выше. На всех суммируемых диаграммах k l. (Проверьте это утверждение.) Согласно (11.12): k = k + lk F ( k + l

Второе ограничение на картину квазичастиц. k -1 k F, | k 4 |>k F ). k 4 = k 1 + k 2 - k 3. (11.17) W d 3 k 2 d 3 k 3 |V k 3, k 1 +k 2 -k 3, k 1, k 2 | 2. (11.18) Вследствие сохранения энергии k 2 1 +k 2 2 = k 2 3 +k 2 4 (11.19) следовательно, k 2 1 +k k 2 F. Пусть k 1 = k F +, где k F >> >0, тогда k 2 k F -. Чтобы выполнялся закон сохранения энергии, необходимо импульсы рассеянных частиц также расположить в шаровом слое толщины вблизи фермиевского импульса. Каждый из интегралов по k 2 и k 3 в (11.18) дает множитель, пропорциональный k 2 F. k -1 2 ( k - F ) 2. (11.20) В приближениях Хартри и Хартри-Фока k 1 =k 3 и область интегрирования в (11.18) обращается в нуль. аВремя жизни квазичастиц бесконечно!