Угол между двумя плоскостями Угол между двумя пересекающимися плоскостями, заданными уравнениями a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 z.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Угол между прямой и плоскостью Найдем угол между прямой AB, направление которой задается вектором, и плоскостью α, заданной уравнением ax + by + cz + d.
Advertisements

Расстояние от точки до плоскости Напомним, что расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную.
Угол между прямыми в пространстве можно находить используя формулу Угол между прямыми где - направляющие векторы данных прямых. Однако угол между векторами.
Решение заданий С 2 координатно- векторным методом.
Угол между прямыми в пространстве Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых.
Угол в пространстве Углом в пространстве называется фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими.
1. Изобразите сечение единичного куба A…D 1, проходящее через вершины A, B, C 1. Найдите его площадь. Ответ..
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Теорема.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.
В этом уравнении плоскости коэффициенты – координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).
Угол между прямыми в пространстве Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Углом между двумя пересекающи- мися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых.
По материалам «Новые варианты» ЕГЭ 2013 года под редакцией А.Л. Семёнов и И.В. Ященко Составитель: учитель МКОУ СОШ 10 с. Ачикулак Гамзатова Сайгат Мусаидовна.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную.
ЗАДАЧА 1 Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб AB=1 K – середина BB 1 N – середина CC 1 E – середина A 1 B 1 KNE – плоскость сечения Найти: Sсеч.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.
1. В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1. Ответ: 60 o.
1 Задачи раздела С 2 Расстояния и углы в пространстве А А1А1 B B1B1 C C1C1 D D1D1 1 1 Елескина Н.Н. МОУ «Лицей 1» Киселёвск, январь, 2011.
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованную двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства,
Транксрипт:

Угол между двумя плоскостями Угол между двумя пересекающимися плоскостями, заданными уравнениями a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 можно найти, используя формулу где - векторы нормалей. Однако угол между векторами может быть тупым, а угол между плоскостями нет. Поэтому, если косинус угла между векторами получился отрицательным, то в ответе нужно указывать его модуль.

Упражнение 1 Найдите угол φ между плоскостями, заданными уравнениями: а) x = 0, y = 0; б) x + y + z + 1 = 0, x + y – z – 1 = 0; в) 2x + 3y + 6z – 5 = 0, 4x + 4y + 2z – 7 = 0. Ответ: а) 90 о ; в)в) б)б)

Упражнение 2 Найдите угол между плоскостями, проходящими через вершины A, B, C 1 и B, C, D 1 единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Векторы нормалей имеют координаты (0, 1, 1) и (1, 0, 1). Данные плоскости ABC 1 и BCD 1 задаются уравнениями: y + z = 1, x + z = 1. Косинус угла между этими плоскостями равен 0,5. Искомый угол равен 60 о. Ответ. 60 о.

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостями ABC 1 и BDA 1. Упражнение 3 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Векторы нормалей имеют координаты (0, 1, 1) и (1, –1, 1). Данные плоскости ABC 1 и BDA 1 задаются уравнениями: y + z = 1, x – y + z = 0. Их скалярное произведение равно 0. Искомый угол равен 90 о. Ответ. 90 о.

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка E – середина ребра AA 1. Найдите угол φ между плоскостями ABC 1 и B 1 D 1 E. Упражнение 4 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Данные плоскости ABC 1 и B 1 D 1 E задаются уравнениями: y + z = 1, x – y – 2z + 2 = 0. Ответ. 30 о. Векторы нормалей имеют координаты (0, 1, 1) и (1, –1, –2). φ = 30 о.

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и F – середины ребер AA 1 и BB 1. Найдите косинус угла φ между плоскостями ACF и B 1 D 1 E. Упражнение 5 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Данные плоскости ACF и B 1 D 1 E задаются уравнениями: x + y – 2z – 1= 0, x – y – 2z + 1 = 0. Векторы нормалей имеют координаты (1, 1, –2) и (1, –1, –2). Ответ.

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и F – середины ребер AA 1 и CD. Найдите косинус угла φ между плоскостями BFC 1 и B 1 D 1 E. Упражнение 6 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Данные плоскости BFC 1 и B 1 D 1 E задаются уравнениями: 2x – y – z – 1 = 0, x – y – 2z + 1 = 0. Векторы нормалей имеют координаты (2, –1, –1) и (1, –1, –2). Ответ.

В правильной 3-й призме ABCA 1 B 1 C 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ABC 1 и AB 1 C 1. Упражнение 7 Их векторы нормалей имеют координаты Косинус угла между ними равен Решение. Пусть вершины призмы имеют координаты: Ответ. Данные плоскости задаются уравнениями:

В правильной 3-й призме ABCA 1 B 1 C 1, ребра которой равны 1, точки D и E – середины ребер AA 1 и CC 1. Найдите косинус угла между плоскостями ABE и DB 1 C 1. Упражнение 8 Их векторы нормалей имеют координаты Косинус угла между ними равен Решение. Пусть вершины призмы имеют координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), A 1 (0, 0, 1), Ответ. Данные плоскости задаются уравнениями:

В правильной 4-й пирамиде SABCD, ребра которой равны 2, точки E, F и G – середины ребер AB, BC и SC. Найдите косинус угла между плоскостями SAD и EFG. Упражнение 9 Их векторы нормалей имеют координаты Косинус угла между ними равен Решение. Пусть O(0, 0, 0), E(0, 1, 0), F(1, 0, 0), S(0, 0, ). Ответ. Данные плоскости задаются уравнениями:

В правильной 4-й пирамиде SABCD, ребра которой равны 2, точки E, F – середины ребер SC, SD. Найдите косинус угла между плоскостями SAD и ABE. Упражнение 10 Их векторы нормалей имеют координаты Косинус угла между ними равен Ответ. Решение. Пусть P, Q – середины ребер AB, BC; O(0, 0, 0), P(0, 1, 0), Q(1, 0, 0), S(0, 0, ). Точка R пересечения прямой SO и плоскости ABE имеет координаты Данные плоскости задаются уравнениями:

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями BDD 1 и AFE 1. Упражнение 11 Их векторы нормалей имеют координаты Косинус угла между ними равен Решение. Пусть вершины призмы имеют координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), Ответ. Данные плоскости задаются уравнениями:

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями BCC 1 и AFE 1. Упражнение 12 Их векторы нормалей имеют координатыКосинус угла между ними равен Ответ. Решение. Пусть вершины призмы имеют координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), Данные плоскости задаются уравнениями:

В правильной 6-й пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями SAF и SBD. Упражнение 13 Их векторы нормалей имеют координатыКосинус угла между ними равен Ответ. Решение. Пусть O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), Данные плоскости задаются уравнениями:

В правильной 6-й пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, точка G – середина ребра SC. Найдите косинус угла между плоскостями SAF и SDG. Упражнение 14 Их векторы нормалей имеют координатыКосинус угла между ними равен Ответ. Решение. Пусть O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), Данные плоскости задаются уравнениями: