1 Задачи раздела С 2 Расстояния и углы в пространстве А А1А1 B B1B1 C C1C1 D D1D1 1 1 Елескина Н.Н. МОУ «Лицей 1» Киселёвск, январь, 2011. - презентация

1 1 Задачи раздела С 2 Расстояния и углы в пространстве А А1А1 B B1B1 C C1C1 D D1D1 1 1 Елескина Н.Н. МОУ «Лицей 1» Киселёвск, январь, 2011

2 Раздел 4. Расстояние от точки до прямой Раздел 5. Расстояние от точки до плоскости Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми Раздел 1. Угол между прямыми Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью Раздел 3. Угол между двумя плоскостями

3 Методы решения задач Поэтапно – вычислительный метод Векторно-координатный метод Метод объемов Метод ключевых задач

4 Раздел 1 Угол между прямыми 4

5 Поэтому искомый угол - это угол ОС 1 В. Из ОС 1 В по теореме косинусов, получаем, что (Т.к. ОВ=1, ВС 1 =, ОС 1 = ) 5 В правильной шестиугольной призме A...F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1. Решение: Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. ОС 1 ||АВ 1, так как четырехугольник АВ 1 С 1 О является параллелограммом. Ответ: 0,75 Задача 1

6 6 Ответ: Задача 2 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми AE и DE, где E и F – точки, расположенные на ребрах CD и C 1 D 1 так, что DE = 1/3 DC, C 1 F = 1/3 C 1 D 1. Решение: Введём прямоугольную систему координат, как показано на рисунке: А(0;0;0), D(1;0;0),,.,

7 Раздел 2 Угол между прямой и плоскостью 7

8 Задача 3 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью ВC 1 D. Решение: Введём прямоугольную систему координат, как показано на рисунке и примем ребро куба за 1.,, Ответ:

9 Раздел 1 Угол между двумя плоскостями 9

10 Ключевая задача: Если S – площадь фигуры Ф, расположенной в плоскости, - площадь проекции фигуры Ф на плоскость то справедлива формула,

11 Задача 4 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостями AB 1 C и ABC. Решение: Ответ: Пусть - искомый угол., где, - равносторонний. Отсюда имеем: Примем ребро куба за 1.

12 Раздел 4 Расстояние от точки до прямой 12

13 Н1Н1 Н1Н1 В А А1А1 С1С1 В1В1 С В А А1А1 С1С1 В1В1 С М В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 высота равна 2, сторона основания равна 1. Найдите расстояние от точки B 1 до прямой АС Искомое расстояние равно высоте равнобедренного, поскольку, Дополнительно проведём высоту и медиану АМ., Задача 5 Ответ:

14 Раздел 5 Расстояние от точки до плоскости 14

15 Задача 6 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром 1 найдите расстояние от точки С до плоскости ВDC 1. Решение: Ответ: Искомое расстояние равно высоте CQ, опущенной в пирамиде BCDC 1 из вершины С на основание BDC 1. С другой стороны, Решим задачу методом объемов: Получаем уравнение:,

16 Раздел 6 Расстояние между двумя прямыми 16

17 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1. Ответ: Решение: О- центр описанной окружности. ОВ=ОС=ВС=1 ОН АD, ОН BC. ОН – высота равнобедренного ОВС. ОН - искомое расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1. О Н Задача 7

18 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и BC 1. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно расстоянию между параллельными плоскостями AB 1 D 1 и BDC 1. Диагональ A 1 C перпендикулярна этим плоскостям и делится в точках пересечения на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка EF и равно 18 Задача 8

19 19 Спасибо за внимание !

20 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 -прямоугольник ABCD, в котором АВ=12, АD= Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD 1, если расстояние между прямыми АС и B 1 D 1 равно 5. Задача Ответ: