Правильная призма Типовые задачи ЕГЭ - В9
B D1D1 C A1A1 В правильной четырёхугольной призме (А…D 1 ) известно, что AC 1 = 2BC. Найдите угол между диагоналями BD 1 и CA 1. Ответ дайте в градусах. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 1 O x xx 60 0 O BD 1 CA 1 = 0 BD 1, CA 1 BCD 1 A 1 BCD 1 A 1 - прямоугольник Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам Пусть ВС = х, тогда АС 1 = 2х значит, ОВ = ОС = ВС = х ВОС - равносторонний (BD 1, CA 1 ) = ВОС = 60 0 Ответ: 60 0 Углы равностороннего треугольника по 60 0
В С В1В1 С1С1 В правильной треугольной призме (А…С 1 ) все ребра которой равны 3. найдите угол между прямыми АА 1 и ВC 1. Ответ дайте в градусах. A B C A1A1 B1B1 C1C Основания призмы – равносторонние треугольники Боковые грани призмы - квадраты (АА 1, ВС 1 ) = (СС 1, ВС 1 ) = ВС 1 С ВС 1 – диагональ квадрата ВВ 1 С 1 С ВС 1 С – острый угол равнобедренного, прямоугольного ВС 1 С ( С = 90 0 ) Острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника равны 45 0 АА 1 = СС 1 Ответ: 45 0 Найти (АА 1, ВС 1 )
В правильной шестиугольной призме (А…F 1 ) все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точками В и Е. A B C A1A1 B1B1 C1C1 3 D E F D1D1 E1E1 F1F1 А F E D C B O Рассмотрим ВЕ в правильном шестиугольнике: Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят его на 6 равносторонних треугольника со стороной ВЕ = ЕО + ОВ ВЕ = = 2 Ответ: ВЕ = 2
В правильной шестиугольной призме (А…F 1 ) все ребра которой равны 1, найдите угол ACC 1. Ответ дайте в градусах. A B C A1A1 B1B1 C1C1 4 D E F D1D1 E1E1 F1F1 ACC 1 = 90 0 в правильной призме боковое ребро перпендикулярно основанию призмы, а значит всем прямым, которые лежат в основании СС 1 (А…Е) АС (А…Е) Ответ: 90 0
В правильной шестиугольной призме (А…F 1 ) все ребра которой равны 1, найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах. A B C A1A1 B1B1 C1C1 5 D E F D1D1 E1E1 F1F1 Основания призмы – правильные шестиугольники D AB C E F O Наибольшие диагонали правильного 6-угольника, делят его на 6 равносторонних треугольника углы которых по 60 0 DAB = OAB = 60 0 Ответ: 60 0
В правильной шестиугольной призме (А…F 1 ) все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла AD 1 D. Ответ дайте в градусах. A B C A1A1 B1B1 C1C1 6 D E F D1D1 E1E1 F1F1 АF E D C B O 11 1 AD – противолежащий катет AD 1 D DD 1 – прилежащий катет AD 1 D Тангенс острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету Ответ: 2
В правильной шестиугольной призме (А…F 1 ) все ребра которой равны 5, найдите расстояние между точками В и Е 1. A B C A1A1 B1B1 C1C1 7 D E F D1D1 E1E1 F1F1 А F E D C B O ВE 1 – гипотенуза ВEE 1 ( E = 90 0 ), ЕЕ 1 = 5 Рассмотрим ВЕ в правильном шестиугольнике: Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят его на 6 равносторонних треугольника со стороной 5. ВЕ = ЕО + ОВ ВЕ = = Ответ: ВЕ 1 = 5
E A B C D О F В правильной шестиугольной призме (А…F 1 ) все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми FА и D 1 E 1. Ответ дайте в градусах. A B C A1A1 B1B1 C1C1 8 D E F D1D1 E1E1 F1F1 Основания призмы – правильные шестиугольники Боковые грани призмы - квадраты E 1 D 1 ED E 1 D 1 = ED FA CD FA = CD (FА, E 1 D 1 ) = (СD, ED) = EDС 1 способ: по формуле угла правильного многоугольника В нашем случае n = 6, подставляем В формулу, получим 6 = способ: Наибольшие диагонали правильного 6-угольника, делят его на 6 равносторонних треугольника, углы которых по 60 0 EDС = CDO + EDO = = тогда угол между прямыми равен 60 0 Ответ: 60 0 Найти (FA, E 1 D 1 ) O
В правильной шестиугольной призме (А…F 1 ) все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точками А и Е 1. A B C A1A1 B1B1 C1C1 9 D E F D1D1 E1E1 F1F1 А F E D C B O M A F O M 1 0, способ: по т. Пифагора: АМ 2 = AF 2 – FM 2 = 1 – ¼ = ¾ 2 способ: АМ = АF. sin60 0 = 1.3 / 2 = 3 / 2 AE 1 – гипотенуза AEE 1 ( E = 90 0 ) Рассмотрим АЕ в правильном шестиугольнике: Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят его на 6 равносторонних треугольника со стороной 1. АЕ = 2. АМ где АМ – высота равностороннего AOF АЕ 2 = 4. АМ 2 АЕ 2 = 4. ¾ = Ответ: АЕ 1 = 2