Тепломассообмен 4А Теплопроводность в стержне

Теплопроводность в стержне (ребре) постоянного поперечного сечения

Условные обозначения Приняты следующие обозначения: поперечное сечение стержня:, м²; периметр стержня:, м; длина стержня:, м; коэффициент конвективной теплоотдачи:, Вт/(м²К); температура окружающей среды:, С; температура стержня:, С; температура основания стержня:, С; избыточная температура стержня:, К; избыточная температура основания стержня:, К.

Уравнение теплового баланса При - бесконечный стержень (температура изменяется только вдоль оси х). Уравнение теплового баланса, Вт: Уравнение теплового баланса, Вт:, (1) где - теплота, отдаваемая от наружной поверхности стержня к окружающей жидкости за счет конвекции; - теплота, подведенная теплопроводностью к левой стороне элемента dx; - теплота, отведенная теплопроводностью от правой стороны элемента dx.

Конвективный тепловой поток По закону Фурье для теплопроводности: После подстановки их в (1) имеем:(2) Конвективный тепловой поток по Конвективный тепловой поток по уравнению Ньютона-Рихмана: уравнению Ньютона-Рихмана:(3) где udx = dF – боковая поверхность, м².

Дифференциальное уравнение для избыточной температуры в стержне Подставляем (2) и (3) в (1): После сокращения на dx получаем дифференциальное уравнение для избыточной температуры в стержне: (4) где Для, тогда при постоянном сечении ребра интеграл от выражения (4): (5) Константы интегрирования для конкретных случаев определяются из граничных условий.

Стержень бесконечной длины Граничные условия: при (6) так как при вся теплота будет отдана жидкости. Подставляем (6) в (5): при(7) (8) с 1 = 0 Из (8): так как, то с 1 = 0.(9) с 2 = θ 1. Из (7): то есть с 2 = θ 1. (10) После подстановки констант интегрирования в (5) имеем: (11) или безразмерный избыток температуры: (12)

Теплопроводность в бесконечном стержне

Теплота, отданная от стержня к жидкости По предыдущему слайду при все кривые асимптотически приближаются к оси абсцисс. Из выражения: что m пропорциональна теплоотдаче с боковой следует, что m пропорциональна теплоотдаче с боковой поверхности и обратно пропорциональна тепло- проводности вдоль стержня, проводности вдоль стержня, то есть надо выбирать материал для ребер с высокой теплопроводностью. Теплота, отданная от стержня к жидкости, Теплота, отданная от стержня к жидкости, равна теплоте, прошедшей через его основание, Вт: (13)

Б) Стержень конечной длины Из (11):. (14) Подставив (14) в (13):. (15) Из граничных условий: для конечного стержня (16) ( ) теплота, подве- денная теплопроводностью к концу стержня, равна конвективной теплоотдаче от конца стержня к жидкости:, (17) где - коэффициент теплоотдачи от конца стержня, Вт/(м²К); - избыточная температура конца стержня, К.

Граничные условия для стержня конечной длины Если подставить граничные условия (16) в общее решение дифференциального уравнения (5) и определить константы интегрирования с 1 и с 2, то с учетом обозначений получим: (18) Если теплоотдачей с торца пренебречь то граничные условия запишутся в виде: (19)

Избыточная температура в стержне конечной длины Это возможно при низком коэффициенте теплоотдачи с торца и высокой теплопроводности стержня, то есть при тогда вместо (18) будет выражение (20) Обычно доля теплоты, отдаваемой с торца, пренебрежимо мала, поэтому для практических расчетов используется выражение (20). Так как в нем только x = var, то с учетом того, что (cos x) = - sin x имеем:

Теплота, отданная от стержня к жидкости (21) Подставляем (21) в (13), получаем теплоту, отданную стержнем жидкости, равную теплоте, прошедшей через основание стержня, Вт: (22) или с учетом обозначения (23) Для длинного стержня: тогда формулы (22) и (23) для конечного стержня переходят в уравнение (15) для бесконечного.