Определенный интеграл продолжение

План лекции: I.Замена переменной в определенном интеграле. II.Приложения определенного интеграла. III.Функции нескольких переменных (частные производные, дифференцирование сложных функций, экстремумы функций нескольких переменных)

I. Замена переменной в определенном интеграле При вычислении определенного При вычислении определенного интеграла методом замены переменной данный интеграл с помощью замены ψ(х) = t преобразуется в другой определенный интеграл с новой переменной интегрирования t, причем старые пределы интегрирования х 1 = a и х 2 = b

заменяются новыми пределами t 1 = ψ(a) и t 2 = ψ(b) согласно уравнению замены: Пример. Вычислить Сделаем замену:

Вычислим новые пределы интегрирования: Вычислим новые пределы интегрирования:приприТеперь

II. Приложения определенного интеграла. 1.Площадь плоской фигуры: а)площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и двумя непрерывными кривыми y = f 1 (x) и y = f 2 (x), где разность функций имеет постоянный знак, находится по формуле

Если знаки разности функций известны, то знаки модуля можно опустить согласно определению модуля

б) В случае, если фигура ограничена по бокам точками пересечения кривых f 1 (x) и f 2 (x), то площадь вычисляется по такой же формуле, но пределы интегрирования находятся как абсциссы этих точек пересечения.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 + 4x и прямой y = x + 4. Сделаем чертеж: Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 + 4x и прямой y = x + 4. Сделаем чертеж:

Предел a = -4 находится по построению. Предел a = -4 находится по построению. Найдем оба предела интегрирования как абсциссы точек пересечения линий. Так как в точках пересечения значения обеих функций y 1 и y 2 равны, то Найдем оба предела интегрирования как абсциссы точек пересечения линий. Так как в точках пересечения значения обеих функций y 1 и y 2 равны, то

Тогда Тогда кв. ед. кв. ед.

2. Решение физических задач a)Если точка движется по некоторой кривой со скоростью v(t) 0, то путь, пройденный точкой за время [t 1 ; t 2 ], равен

Пример. Скорость точки равна v = 3t 2 + 2t (м/с). Найти путь S, который точка преодолела за время t = 4 c, прошедшее с начала движения. В нашем случае t 1 = 0, t 2 = 4. Тогда В нашем случае t 1 = 0, t 2 = 4. Тогда

б) Работа силы. Если переменная сила F(x) действует по оси Ох, то работа силы на отрезке [x 1 ; x 2 ] равна Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила в 1 кг растягивает ее на 1 см?

Из закона Гука следует, что F = kx, где k – коэффициент пропорциональности. Из закона Гука следует, что F = kx, где k – коэффициент пропорциональности. В нашем случае при x = 0,01 м сила F = 1 кг. В нашем случае при x = 0,01 м сила F = 1 кг. Отсюда т.е. F = 100 x. Кроме того, x 1 = 0, x 2 = 0,06. Тогда искомая работа есть Кроме того, x 1 = 0, x 2 = 0,06. Тогда искомая работа есть

III. Функции нескольких переменных. Определение. Если каждой паре действительных чисел (x; y) из области D по определенному правилу ставится в соответствие только одно число z из области Е, то говорит, что на множестве D задана функция двух переменных z = z(x, y). Определение. Если каждой паре действительных чисел (x; y) из области D по определенному правилу ставится в соответствие только одно число z из области Е, то говорит, что на множестве D задана функция двух переменных z = z(x, y). Значение z(a; b) функции z = z (x, y) есть значение этой функции, вычисленное при x = a, y = b. Значение z(a; b) функции z = z (x, y) есть значение этой функции, вычисленное при x = a, y = b.

Пример 1. Пример 1.. Найти значение z в т. М(1; -1).

Пример 2. Найти область определения Пример 2. Найти область определения функции. Такая функция вычисляется, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 1 – x 2 – y 2 0 x 2 + y 2 1 Область есть указанный на рисунке круг.

Определение. Частной производной функции z = z(x, y) по аргументу x называется производная этой функции по x, при постоянном y. Обозначения: Частные производные.

Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянном x. Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения: Обозначения:

Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z является функцией одной переменной и, следовательно, при нахождении частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования функций одной переменной. Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z является функцией одной переменной и, следовательно, при нахождении частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования функций одной переменной.

При дифференцировании полезна следующая таблица: При дифференцировании полезна следующая таблица: x x ' = 1,x y ' = 0 y y ' = 1,y x ' = 0 c x ' = 0,c y ' = 0,c – const Примеры. Примеры. 1.z = x 3 – 3x 2 y + 2y 3 + 1,z x ', z y ' - ? z x ' = (x 3 – 3x 2 y + 2y 3 + 1) x ' = (y – const) = (x 3 ) x ' – (3x 2 y) x ' + (2y 3 ) x ' + 1 x ' = = 3x 2 - 3y · (x 2 ) x ' = 3x 2 – 6xy

z y ' = (x 3 – 3x 2 y + 2y 3 + 1) y ' = (x – const) = (x 3 ) y ' – (3x 2 y) y + (2y 3 ) y ' + 1 y ' = = 0 – 3x 2 · y y ' + 2(y 3 ) y ' + 0 = -3x 2 + 6y 2 2.z = x y,z x ', z y ' - ? z x ' = (x y ) x ' = yx y-1, z y ' = (x y ) y ' = x y lnx (y – const) (x – const) (y – const) (x – const)

Полный дифференциал Пусть z=z(x, y), где x=x(u, v), y=y(u, v), Пусть z=z(x, y), где x=x(u, v), y=y(u, v), u и v – независимые переменные. Тогда частные производные сложной функции z = z(x(u, v), y(u, v)) = f(u, v) находятся по формулам: (1)(2)

Пример. Пример. Найдем 6 частных производных, входящих в правые части равенств (1) и (2):

Эти 6 производных подставляются в (1) и (2): В данные выражения подставлять x(u, v) и y(u, v) и упрощать их необязательно. В каждом конкретном случае, когда необходимо вычислить z u и z v в т. М(х 0 ; у 0 ), рациональнее предварительно вычислять х и у в этой точке и полученные значения подставлять в (3) и (4).

Частные производные высших порядков Частными производными второго порядка функции z=z(x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка. Частными производными второго порядка функции z=z(x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка.

Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо. Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо. Последние две производные отличаются только порядком, называются смешанными и в случае их непрерывности равны. Последние две производные отличаются только порядком, называются смешанными и в случае их непрерывности равны. Пример. z = x 2 -2xy 2 Найти все частные производные 2-ого порядка и проверить равенство z xy = z yx

Вначале найдем частные производные первого порядка: Вначале найдем частные производные первого порядка: z x = (x 2 -2xy 2 ) x = 2x-2y 2, z y = (x 2 -2xy 2 ) y = -4xy Теперь z xx = (2x-2y 2 ) x = 2, z yy = (-4xy) y = -4x z xx = (2x-2y 2 ) x = 2, z yy = (-4xy) y = -4x z xy = (2x-2y 2 ) y = -4y, z yx = (-4xy) x = -4y z xy = (2x-2y 2 ) y = -4y, z yx = (-4xy) x = -4y Нетрудно видеть, что z xy = z yx Выполнение этого условия может служить критерием правильности нахождения частных производных 1-ого порядка и смешанных – 2-ого порядка.

Экстремум функции нескольких переменных Точка M(a; b) называется точкой максимума (минимума) функции Z(x, y), если существует такая окрестность точки M, что для всех других точек из этой окрестности Точка M(a; b) называется точкой максимума (минимума) функции Z(x, y), если существует такая окрестность точки M, что для всех других точек из этой окрестности Z(x, y) Z(a, b)) Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума. Соответствующее значение функции есть экстремум. Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума. Соответствующее значение функции есть экстремум.

Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно. Выделить из области определения функции конечное число точек, претендующих на точки экстремума, помогает необходимое условие экстремума. «Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки из области определения функции, в которых все ее частные производные 1-ого порядка обращаются в нуль, или не существует хотя бы одна из них». «Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки из области определения функции, в которых все ее частные производные 1-ого порядка обращаются в нуль, или не существует хотя бы одна из них». Выделить из множества критических точек точки экстремума позволяют достаточные условия экстремума. Укажем на 2 из них. Выделить из множества критических точек точки экстремума позволяют достаточные условия экстремума. Укажем на 2 из них.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в окрестности которых приращение функции Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в окрестности которых приращение функции Z = Z(x, y) - Z(a, b) не меняет знака. При этом, если Z>0 (Z 0 (Z

Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант =АС-В 2, где А=z xx (a; b), Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант =АС-В 2, где А=z xx (a; b), C=z yy (a; b), B=z xy (a; b), или B=z yx (a; b). Тогда: 1) если >0, то М(a; b) - точка экстремума, а именно точка максимума при А 0 (или C>0); 2) если

Найти экстремум функции z=y 2 -4y+x 2 Найдем критические точки. Выпишем частные производные 1-ого порядка: z x =(y 2 -4y+x 2 ) x =2x z y =(y 2 -4y+x 2 ) y =2y-4 Приравниваем их к нулю: Пример. Пример. - критическая точка

Найдем дискриминант =АС-В 2. Для этого вначале вычислим частные производные 2-ого порядка: z xx =(2x) x =2 z yy =(2y-4) y =2 Из равных смешанных производных находят Из равных смешанных производных находят ту, которая получается проще, например, z xy : ту, которая получается проще, например, z xy : z xy =(2x) y =0 Производные существуют во всей Производные существуют во всей области определения. области определения.

Тогда A=z xx (0; 2)=2, C=z yy (0; 2)=2, B=z xy (0; 2)=0. Дискриминант =2·2-0 2 =4>0 => М(0; 2) точка экстремума. A=2>0 => М(0; 2) - точка минимума. Тогда z min = z(0; 2) = ·2 + 0 = -4 Ответ: z min =-4

Расслабляйся!