1.Числовые ряды. Определение. 2.Необходимый признак сходимости. 3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. 4.Знакопеременные ряды. 5.Знакочередующиеся ряды. 6.Признак Лейбница. План

Сумма ряда или ряд, математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится

Пусть дана бесконечная последовательность чисел: (1) Выражение : (2) называется числовым рядом, а числа - членами ряда. Суммы называются частичными суммами ряда. (2)

Если последовательность частичных сумм имеет конечный предел (3) то этот предел называется суммой ряда. В этом случае ряд называется сходящимся.Если же предел (3) не существует или равен то ряд расходится и суммы не имеет.

Необходимый признак сходимости ряда Если ряд сходится, то его общий член к нулю при стремится неограниченном возрастании номера n : (4) При нарушения условия (4) ряд заведомо расходится. Заметим, что из сходимости ряда (2) следует сходимость его остатка остатка ряда и, наоборот, сходимости из следует сходимость исходного ряда. Иначе говоря, если отбросить число конечное начальных членов ряда, то это не отразится на сходимости(расходимости) ряда.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. 1) Признак сравнения рядов (5) (6) Если, начиная с некоторого номера n N, неравенство выполняется, тоиз сходимости ряда (6) следует сходимость ряда (5) и из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (6).

2) Признак Даламбера. Если существует предел то при 1 расходится.При =1вопрос 3) Признак Коши Если существует предел при 1 расходится. нерешенным.

Примеры 1. Написать пять первых членов ряда по данному общему члену (*) 2. Найти для ряда (*) частичную сумму первых n членов ( ) Общий член ряда запишем иначе :

Частичная сумма ряда Отсюда следует, что ряд (*) сходится и его сумма S=1 3. Написать формулу общего члена для ряда : формуле 3n+2. (n=1,2,3,…) Числители членов – четные числа вида 2n, азнаменатели–числа, которыеполучаютсяпо

Учитывая, что знаки членов ряда чередуются, получим если, то расходится ! => ряд расходится - расходиться! 4. Гармонический ряд

5. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда : =0 ряд сходится. 6. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда : => сходится

Знакопеременные ряды Определение: Если члены числового ряда с разными знаками, то такой ряд будет называться знакопеременным. Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов (2) Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся. Признаки абсолютной сходимости знакопеременного ряда те же, что и сходимости с положительными членами.

Знакочередующиеся ряды Ряд (3) (3`) где n>0 (n=1,2,3,…) называется знакочередующимся. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак Лейбница Если члены знакочередующегося ряда (3) убывают по абсолютной величине и 0

Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются и предел =>ряд сходится Составлен ряд(а) и сравним его с расходящимсярядом (б) (т.к. расходится гармонический ряд). Каждый член ряда (а) больше соответственного члена ряда (б), следовательно, ряд (а) расходится, потому данный ряд сходится условно.

Итак: 1) Сходятся условно ряды с общим членом или 2) Абсолютно сходятся ряды с общим членом - сходится 3) Расходятся ряды с общим членом

Признак Лейбница не работает … - ряд расходится, т.к. 4) - сходится. 5) - сходится условно.