План лекции: 1. Методы интегрирования(продолжение) 2. Определенный интеграл

Методы интегрирования 4) Замена переменной Часть подынтегральной функции или вся функция Ψ(х) заменяется новой переменной, т.е.: Ψ(x)=t, (*) dx через t находится после дифференцирования обеих частей уравнения замены (*): dΨ=dt, или Ψ(x)dx=dt Если интеграл с новой переменной найден, то, возвращаясь к прежней переменной Х, согласно уравнению замены, получим искомый интеграл.

Пример: 1)Найти Сделаем замену 3х=t Теперь…

2) Замена Теперь Или и тогда и т.д.

3) Пример Делаем замену Подставляем через t в подынтегральное выражение:

5) Метод преобразования дифференциала Справедливы следующие формулы:

Примеры 1) 2) 3)

Определенный интеграл Пусть функция f(x) определена на отрезке (a;b). Разобьем отрезок на n частей точками, выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку, вычислим значение f(x) в каждой из этих точек и обозначим через длину каждого такого отрезка.

Определение 1: Сумма вида называется интегральной суммой для f(x) на отрезке Определение 2: Устремим максимальную длину отрезков к нулю. При этом. Тогда интегральная сумма стремится к некоторому пределу. Тогда интегральная сумма стремится к некоторому пределу называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке (или в отрезке от a до b). a и b называются нижним и верхним пределом интегрирования.

Геометрический смысл Если на, то численно равен площади криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=a, x=b, y=a.

Основные свойства определенного интеграла 1)Если, то - формула Ньютона-Лейбница Здесь F(x) – первообразная для f(x). 2)

3) Т.е. при перестановке пределов интегрирования меняется знак интеграла. 4) Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен 0.

5) Т.е. отрезок интегрирования можно разбивать на части. 6)

Примеры 1.Вычислить Найдем первообразную Возьмем Тогда получаем по формуле Ньютона-Лейбница

2. Вычислить Найдем первообразную Выберем Тогда

Спасибо за внимание!!!