Реферат по математике. «Методы решения рациональных уравнений».

Введение. Целью написания этого реферата является ознакомление с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы методами решения уравнений, иллюстрирование широких возможностей использования хорошо усвоенных школьных знаний, закрепление и систематизация навыков решения рациональных уравнений.

Рациональные уравнения. Функция вида P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n, где n натуральное, a 0, a 1,…, a n некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Возвратные уравнения. Уравнение вида a n x n +a n–1 x n–1 +…+a 1 x+a 0 =0 Уравнение вида a n x n +a n–1 x n–1 +…+a 1 x+a 0 =0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если a n – 1 = a k, при k = 0, 1, …, n.

Пример. Решить уравнение: 2х 4 +3х 3 -3х 2 -3х+2=0 Решение. Так как х=0 не является корнем этого уравнения, то оно равносильно уравнению 2х 2 +3х-3-3/х+2/х 2 =0. 2(х 2 +1/х 2 )+3(х-1/х)-3=0. Пусть х-(1/х)=у. Получаем: 2у 2 +3у+1=0. Корни этого уравнения есть у 1 =-1 и у 2 =-0, 5. Возвратные уравнения.

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений х-(1/х)=-1 и х-(1/х)=-0,5 Решения первого уравнения этой совокупности есть х 1 =-0,5(1+ 5) и х 2 =-0,5(1- 5), а решения второго х 3 =-0,25(1- 17) и х 4 =-0,25(1+ 17). Следовательно, эти четыре корня являются корнями исходного уравнения. Ответ: х 1 =-0,5(1+ 5), х 2 =-0,5(1- 5), х 3 = -0,25(1+ 17), х 4 =-0,25(1- 17). Возвратные уравнения.

Решение симметрических систем уравнений. Многочлен P(x,y) называется симметрическим, если P (x,y)=P(y,x). При решении систем уравнений вида P 1 (x,y)=0, P 2 (x,y)=0,где P 1 (x,y) и P 2 (x,y) симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных: x+y=U, xy=V. Любой симметрический многочлен P(x, y) можно представить как выражение от U и V. P 2 (x,y)=0,где P 1 (x,y) и P 2 (x,y) симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных: x+y=U, xy=V. Любой симметрический многочлен P(x, y) можно представить как выражение от U и V.

Пример. Решить систему уравнений x 2 + xy + y 2 = 49, x + y + xy = 23. Решение. x 2 +xy+y 2 =x 2 +2xy+y 2 xy=(x+y) 2 xy. Сделаем замену неизвестных: x+y=U, xy=V. Система примет вид: U 2 V=49, U+V=23. Решение симметрических систем уравнений. систем уравнений.

Сложив эти уравнения, получим уравнение U 2 + U 72 = 0 с корнями U 1 = 8,U 2 = 9. Соответственно V 1 =15, V 2 = 32. Остаётся решить системы уравнений: x + y = 8, xy = 15, xy = 15, x + y = 9, x + y = 9, xy = 32. xy = 32. Решение симметрических систем уравнений.

Система x+y=8, xy = 15. xy = 15. имеет решения: x 1 =3,y 1 =5;x 2 =5, y 2 =3. Система x+y= 9, xy=32. xy=32. действительных решений не имеет. Ответ: x 1 = 3, y 1 = 5; x 2 = 5, y 2 = 3. Решение симметрических систем уравнений. систем уравнений.

Уравнения и системы уравнений с параметрами. Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнения с параметрами задаёт множество уравнений (для всех возможных значений параметров). Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнения с параметрами задаёт множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

Решить уравнение с параметрами означает следующее: исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров. найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения. Уравнения и системы уравнений с параметрами.

Пример. Решим уравнение px=6 с неизвестным x и параметром p. Если p 0, то можно разделить обе части уравнения на p, и тогда мы находим корень уравнения x=6/p. Если p=0, то уравнение корней не имеет, потому что 0 x=0 для любого x. Ответ: при p 0 уравнение имеет единственный корень x=6/p; при p=0 уравнение корней не имеет. Уравнения и системы уравнений с параметрами.

Графический метод решения систем нелинейных уравнений. Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными можно решать графически. Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения.

Графический метод решения систем нелинейных уравнений. Пример. Найдём графически корни системы: x 2 + y 2 2x + 4y 20 = 0, 2x y = 1. Решение. Выделяя полные квадраты, получаем: x 2 + y 2 2x + 4y 20 = (x 2 2x +1) + (y 2 + 4y + 4) = (x 1) 2 + (y + 2) Значит, систему уравнений можно записать так: (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 25, 2x y = 1.

Графический метод решения систем нелинейных уравнений. Графиком первого уравнения является окружность с центром A(1; 2) и радиусом 5. А 2x y = 1 уравнение прямой, проходящей через точки B(0; 1) и C(2; 5). Строим окружность радиуса 5 с центром в точке A и проводим прямую через точки B и C. Эти линии пересекаются в двух точках M(1; 3) и N( 3; 5). Значит решение системы таково: x 1 = 1, y 1 = 3; x 2 = 3, y 2 = 5. A 2 N 02 X Y B C5 M

Заключение Таким образом, рассмотрев всевозможные методы решения рациональных уравнений, можно выделить основные: Таким образом, рассмотрев всевозможные методы решения рациональных уравнений, можно выделить основные: 1)Простейшие: решаются путём обычных упрощений приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax 2 +bx+c=0 решаются по выведенной нами формуле

Заключение 2) Группировка: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

Заключение 3) Подстановка: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения.

Заключение 4) Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения a n x n +a n – 1 x n– 1 +…+a 1 x+a 0 =0 ищем в виде p/q, где pделитель a 0, qделитель a n,p и q взаимно просты, p Z, q N.

Заключение 5) Искусство, т.е. решать пример нестандартно, придумать свой метод, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

Заключение 6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что f(x) = f(x), если f(x) 0, f(x) =–f(x), если f(x)