ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Н.И. Бондарь

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Синодическим периодом обращения ( S ) планеты называется промежуток времени между ее двумя последовательными одноименными конфигурациями. Сидерическим или звездным периодом обращения ( Т ) планеты называется промежуток времени, в течение которого планета совершает один полный оборот вокруг Солнца по своей орбите. Сидерический период обращения Земли называется звездным годом ( Т )

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Для внешних и внутренних планет установлена связь между этими тремя периодами. Пусть звездный период обращения внешней планеты равен Р, звездный период Земли - Т, а синодический период - S. Угловое перемещение по орбите за сутки у планеты равно 360 о /Р, а у Земли 360 о /Т. Разность суточных угловых перемещений планеты и Земли (или Земли и планеты) есть видимое смещение планеты за сутки, т.е. 360 о /S. Отсюда для нижних планет 1/ S = 1/ Р – 1/ Т для верхних планет 1/ S = 1/ Т – 1/ Р

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Cидерический период Земли (продолжительность звездного года) T= 365,26... средних солнечных суток. Продолжительность синодических периодов планет S определяют из наблюдений, а сидерические периоды Р вычисляют. Значения обоих периодов для планет можно найти в справочниках. Наилучшая вечерняя видимость Венеры (наибольшее ее удаление к востоку от Солнца) была 5 февраля. Когда в следующий раз Венера будет видна в тех же условиях, если ее сидерический период обращения равен 225 d ? Решение: Наилучшая вечерняя видимость Венеры наступает во время ее восточной элонгации. Следовательно, следующая наилучшая вечерняя видимость наступит во время следующей восточной элонгации. Промежуток времени между двумя последовательными восточными элонгациями равен синодическому периоду обращения Венеры и может быть вычислен.

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Дано: Решение Вычисление Т=365 d Венера –нижняя планета 1/ S = 1/225 – 1/365 P=225 d 1/ S = 1/ Р – 1/ T S = 587 d _________ t= =222 (d) S=? Ответ: т.к. предыдущая восточная элонгация Венеры была 4 февраля, то следующая наступит через 587 дней, т.е сентября следующего года. Законы Кеплера Первый закон Кеплера Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Эллиптическая орбита планеты r - радиус-вектор a – большая полуось, F и F' – фокусы орбиты P - перигелий A - афелий с= FF / 2 =ОF e = с/а – эксцентриситет эллипса o B

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Второй закон Кеплера (закон площадей) Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади. Из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно. В перигелии ее линейная скорость больше, чем в афелии. Земля проходит через перигелий в начале января, т.е. движется в этот период быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля проходит через афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Третий закон Кеплера Квадраты звездных периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит. Если большую полуось орбиты и звездный период обращения одной планеты обозначить соответственно через a 1, T 1, а другой планеты через a 2, T 2, то третий закон можно записать так: Третий закон Кеплера связывает длины больших полуосей планетных орбит с длиной большой полуоси земной орбиты. В астрономии эта длина принята за основную единицу измерения расстояний астрономическую единицу (а. е.). Ньютон показал, что гравитационное притяжение планеты зависит от расстояния ее от Солнца и массы и уточнил закон Кеплера, введя в него массу. Этот закон позволяет определить массу планет и спутников, если известны их орбитальные периоды.

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Закон всемирного тяготения (1682 г. И. Ньютон) где M и m – массы Солнца и планеты, r – расстояние между ними, G = 6,67·10 –11 Н·м 2 /кг 2 – гравитационная постоянная. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца: R –радиус орбиты, Т – сидерический период. Т.к. T 2 ~ R 3, то Закон сохранения энергии. Полная энергия тела в гравитационном поле остается постоянной.

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела. E R. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы). При E = 0 - тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории. При E > 0 - движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Для ИСЗ центром тяготения является Земля. Найдем скорость спутника для круговой орбиты (первую космическую) и скорости движения по параболической и гиперболической орбитах- 2-ю и 3-ю скорости. Дано: М- масса Земли m- масса спутника Rз = 6380км g=9.8 м/c 2 ___________________ v = ? Решение 1. Fц = Fт Вычисления V 1 = 9.8 х 6380 х 10 3 = 7.9 х 10 3 м/с

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Решение 2. Е к = Е п Вычисление V 2 = 2 x 9.8 x6380 x10 3 = 11.2 x 10 3 м/с Третья космическая скорость используется редко. v 3 =16.6 км/с ( при старте с поверхности Земли). Вычислить третью космическую скорость можно по формуле]:] где v 1 и v 2 соответственно 1-я космическая скорость для Солнца и 2-я – для планеты.

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Большая полуось орбиты малой планеты «Веста» равна 2.36 а.е. Найдите период ее обращения вокруг Солнца. Дано: Решение Вычисление а 2 = 2.36 а.е. По 3-му закону Кеплера Т 2 = (2.36) 3 = 3.63 г. а 1 = 1 а.е. (T 2 /T 1 ) 2 = (a 2 /a 1 ) 3 Т 1 = 1г. Т 2 2 = (a 2 /a 1 ) 3 / Т 1 2 _____________ Т 2 =? Ответ: 3.63 года.

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Синодический период внешней планеты 417 суток. Определите ее среднее расстояние от Солнца? Дано: Решение Вычисление S = 417d=1.14г. По 3-му закону Кеплера 1/Т 2 = 1- 1/1.14 = 0.12 г. а 1 = 1 а.е. (T 2 /T 1 ) 2 = (a 2 /a 1 ) 3 Т 2 = 1/ 0.12 = 8.14 г. ~8 лет Т 1 = 1г. а 2 3 = (Т 2 /Т 1 ) 2 /а 1 3 а 2 3 = 8 2 = 64 а.е. _____________ a 2 =? синодический и сидерический периоды связаны: 1/S =1/T 1 - 1/T 2 = 1 - 1/T 2 Ответ: а 2 =4 а.е. 1/Т 2 =1- 1/S

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Скорость астероида в точке афелия своей орбиты в 3 раза меньше, чем в точке перигелия. Найдите эксцентриситет его орбиты. Дано: Решение Вычисления V p / V a =3 По 2-му закону Кеплера (1+ e )/(1- e )=3 S 1 =S 2 (площади треугольников) 4 e =2 ______ t= τ e =OF/a OF= e a e =0.5 e =? r p = а - e a= а(1- e ) r a = а + e a= а(1+ e ) V p τ · a(1- e ) / 2 = V a τ ·a(1+ e ) / 2 Ответ: e =0.5 Vp/Va= (1+ e )/ (1- e )

ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Вычислите радиус геостационарной орбиты спутника, радиус Земли=6380 км. Дано: Решение Вычисление R=6380 х 10 3 м Fц = Fт r 3 = 9.8x(6380x10 3 ) 2 x Т=24 ч mω 2 r = GMm/r 2 х (2х3.14/24 x3600) 2 g=9.8 м/c 2 GM=gR 2 ___________ ω=2π/T r = км r=? (2π/T) 2 = g R 2 / r 3 r 3 = gR 2 / (2π /T) 2 Ответ: r = км Такая же задача. На каком расстоянии от центра Земли должен находится геостац. спутник?