Лекция 17 Модели в виде системы одновременных уравнений: Косвенный метод наименьших квадратов Двухшаговый метод наименьших квадратов

Предполагаем, что модель идентифицируема. Для иллюстрации этого метода, в котором каждое поведенческое уравнение модели оценивается отдельно от другого, выберем простейшую "паутинную" модель спроса-предложения товара: (1.1) Необходимо найти оценки параметров a 0, a 1, b 0, b 1, а также СКО этих оценок

Убедимся в том, что оба уравнения модели идентифицированы Воспользуемся правилом ранга: rk(ĀR i T )G-1, i=1,2

Для первого уравнения системы (1.1) имеем: Проверяем условие: rk(ĀR 1 T )G-1 2=3-1=2 следовательно, первое уравнение точно идентифицированно Соответственно для второго уравнения: rk(ĀR 1 T )G-1 2=3-1=2

Что доступно для наблюдения: (y* i, p i, p i-1 ) Имеем уравнения наблюдений схемы Гаусса-Маркова: y 1 = a 0 + a 1 · p 1 + u 1 y 2 = a 0 + a 1 · p 2 + u ………. y n = a 0 + a 1 · p n + u n Однако, применить к ней МНК нельзя, т.к. COV(p i,u i )0 Запишем приведенную форму модели для переменной p t (1.2)

Оценки параметров структурной формы модели оказываются смещенными и неэффективными даже при выборках большого объема Это видно из следующих вычислений: (1.2) Из (1.2) видно, что вектор оценок параметров модели отличается от «истинных» значений на некоторую величину, которая делает оценки смещенными

Форма (1.2) оценок параметров линейной модели МНК полезна тем, что она позволяет сформулировать достаточные условия состоятельности Условия состоятельности: (1.3) (1.4) (1.5)

Косвенный метод наименьших квадратов применяется в случае точной идентифицируемости уравнений модели Алгоритм применения КМНК: 1. От структурной формы модели переходят к приведенной 2. Определяются МНК-оценки параметров приведенной формы модели 3. По МНК-оценкам приведенной формы вычисляются оценки параметров структурной формы модели

Мы знаем связь параметров структурной и приведенной форм моделей: М=-А -1 В или АМ=-В или АМ+В=0 (2.1) Последнее выражение с использованием расширенной матрицы коэффициентов Ā в матричной форме имеет вид: (2.2) где: I – единичная матрица размером kxk Для оценки параметров i-го уравнения системы (2.2) необходимо добавить априорные ограничения и условия нормализации

В результате, с учетом априорных ограничений на коэффициенты, получается система алгебраических уравнений относительно элементов матрицы Ā (2.3) Можно доказать, что, если i-ое уравнение точно идентифицируемо и выполнено условие нормализации, то система (2.3) имеет единственное решение, которое удовлетворяет условию состоятельности

Задача. Построить модель потребления свинины на душу населения у 1 (в фунтах) в зависимости от цены на нее у 2 (долл/фунт), располагаемого дохода х 1 (в долл) и расходов по обработке мяса х 2 (% от цены) Известно: 1.Потребление свинины пропорционально ее цене при этом потребление падает с ростом цены, и пропорционально располагаемому доходу 2. Цена растет с ростом потребления свинины и ростом стоимости ее переработки

Решение. Пусть: y 1 – годовое потребление свинины на душу населения y 2 – оптовая цена за фунт свинины x 1 – доход на душу населения х 2 – расходы на обработку мяса 1. Спецификация модели. С учетом отмеченных законо- мерностей спецификацию модели можно записать в виде (2.4)

В приведенной форме модель (2.4) примет вид: (2.5)

2. Сбор исходной информации для оценки модели Год Потрб ление y 1 Цена y 2 Доход x 1 Перера ботка x

3. Оценка МНК параметров приведенной формы модели (2.6) Коэффициенты приведенной формы модели (2.5) соответственно есть:

4. Вычисление параметров структурной формы модели 4.1 Для первого уравнения модели Расширенная матрица коэффициентов Ā имеет вид Параметры первого уравнения структурной формы модели (2.4) удовлетворяют условию: (2.7)

После перемножения матриц в системе (2.7) получим m 11 – a 12 m 21 - b 11 =0 m 12 – a 12 m 22 = 0 Решив полученную систему относительно параметров a ij, найдем искомые параметры для первого уравнения модели (2.4)

4.2 Рассматриваем второе уравнение моделей ( ) Структурные параметры для него есть решение системы уравнений:

В результате структурная форма модели (2.4) получила вид Остается проверить ее адекватность Вспомнив, что равенство нулю параметров приведенной формы (2.5) m 11 = и m 21 =0, окончательно получим:

В основе метода лежит понятие «инструментальных переменных» Пусть имеем линейную модель множественной регрессии (3.1) В модели (3.1) объясняющие переменные коррелируют со случайными возмущениями

Определение. Переменные (z 1t, z 2t,…,z kt ) называются инструментальными для модели (3.1), если они удовлетворяют двум требованиям: Т.е. z it коррелируют в пределе с x it и не коррелируют в пределе со случайными возмущениями Теорема. Процедура (3.2) (3.3) доставляет состоятельные оценки параметров модели (3.1) (3.4)

Вопрос. Как построить инструментальные переменные? Вернемся к уравнению (1.2) (1.2) Перепишем его в виде: (3.5) Если удастся избавиться от ε t, т.е. найти переменную то она могла бы выступить в качестве инструментальной переменной (3.6)

Если бы переменная z была бы наблюдаемой, то процедура МНК, позволила бы получить несмещенные и эффективные оценки параметров структурной формы модели Однако, z не возможно получить в наблюдениях! Выход – найти ей замену (замещающую переменную) Такой переменной может служить МНК-оценка переменной «р», которая может быть вычислена после оценки модели (3.5) Тогда, если вместо переменной «р», в первом уравнении (1.1) воспользоваться переменной z, то процедура МНК будет доставлять состоятельные оценки параметров структурной формы уравнений модели

Алгоритм оценки коэффициентов структурной формы уравнений ДМНК 1.Оценивание параметров приведенной формы модели для эндогенных переменных, включенных в правую часть уравнения модели с помощью МНК 2. Оцениваются параметры структурной формы уравнения модели, в правую часть которой вместо значений эндогенных переменных подставляются их оценки, рассчитанные по приведенным формам модели, которые получены на предыдущем шаге 3. Оцениваются точностные характеристики модели

Пример. Рассмотрим предыдущую задачу: Оценить параметры структурной формы модели (2.4) (2.4) 1.Оценка параметров первого уравнения Приведенная форма уравнения для эндогенной переменной y 2t имеет вид:

Год Потрб ление y 1 Цена y 2 Y2 (расч) Перера ботка x , , , , ,74 50 Расчетная схема для первого уравнения Результат оценки первого уравнения модели

2. Оценка параметров второго уравнения модели Приведенная форма уравнения для эндогенной переменной y 1t имеет вид: Год Цена y 2 Y1 (расч) Перера ботка x , , , , ,56 50 Результат оценки модели Расчетная схема

Выводы: 1. При оценке параметров структурной формы уравнений модели возникают две проблемы: - наличие корреляции между случайными возмущениями и регрессорами - неидентифицируемость параметров модели 2. Модели в виде системы одновременных уравнений разделяются на точно идентифицируемые и сверх идентифицированные 3. В первом случае для идентификации параметров структурной формы модели применим как косвенный, так и двухшаговый метод наименьших квадратов 4. Во втором случае применим только двухшаговый метод наименьших квадратов