О нелинейных ленгмюровских волнах (НЛВ) Уравнения Ахиезера-Половина dE/dx = 4 e(n 0 – n ) n / t + d(n v )/dx=0. p e / t + v dp e /dx= – e E p e = m v e e = (1– v 2 /c 2 ) -1/2 Уравнение для энергии электронов γ e / t + v dγ e /dx= – e E v Б = (x – ut) p /c, = e /(mc 2 ), = dψ/d где p = (4πn 0 e 2 /m) 1/2. И при n = n 0 E=E 0, v = = 0, e = 1.

Законы сохранения E 2 + 8πn 0 mc 2 ( e –1) = E 0 2 γ e – 1 = ββ e γ e + ψ Вводя о бозначения β = u /c, β e = v /c, γ = (1– β 2 ) -1/2, = 0 2 /2 = (dψ/d ) 0 2 /2. из законов сохранения имеем V(ψ, γ ) = – 2 /2 = = γ 2 (1+ ψ ) – 1 – β γ Функция V(ψ, γ ) определена при – – П – – m = –1. П = dψ/d + = + – = –

График функции V(ψ)

= E 0 2 /( 8πn o mc 2 ) = θ ( 1) θ = / m = (E 0 / E m ) 2 1, m = – 1 d /d = Из этой формулы можно найти профиль НЛВ и = ( ) = p πJ(, ) J(, ) = = p (1 + – 1/2 (π/2) / E(k) E(k) – полный эллиптический интеграл второго рода. Его величина изменяется в пределах от 1 до π/2. k = [ 1 – (1+ – ) 2 ] 1/2 При >> 1 ( >> 1, релятивистские волны) = p (π/2)/(2 ) 1/2, =4u (2 ) 1/2 / p При

Выводы из теории, в которой ионы неподвижны. 1.Решения в виде периодических НЛВ в принятых приближениях существуют только при амплитудах электрического поля меньше предельной величины E m = [ 8πn o mc 2 ( 1)] 1/2. 2. Фазовая скорость НЛВ не превышает скорости света в вакууме. В этом отличие точного решения для НЛВ бесконечно малой амплитуды от решений, полученных в линейном приближении для ленгмюровских волн в холодной плазме. 3. Потенциал НЛВ представляет собой периодическую структуру, причем амплитуда положительной части потенциала + при > 1 существенно больше амплитуды отрицательной части | – | ( + /| – _| 2. Профиль положительной части имеет преимущественно или косинусоидальную, или параболическую зависимость от координаты. Отрицательная часть потенциала имеет либо форму пилы ( > 10), либо форму косинуса ( < 0,1, < 10 –3 ), либо форму кривых, лежащих между графиками косинуса и пилы. 4. Получена простая формула для частоты нелинейной ленгмюровской волны p [1 + – ( /2 1/2, где = θ ( 1). Частота зависит от двух параметров задачи: θ (амплитуда волны) и (скорость волны).

НЛВ с учетом динамики ионов μ = M /m >> 1. (, ) p π (μ + 2 )/ [μ(2 ) 1/2 ], где = θ ( 1), μ = M/m. П > μ 1/2. min = 2π p / μ 1/2 при min = μ / 2. p при = μ 2 /( 2 π) 2. μ = 1. ( ) p π( ) 1/2 /2, 1/2.

Выводы из теории НЛВ, в которой учтена динамика ионов 1. Остаются в силе выводы об ограничении скорости НЛВ: u c и о предельном поле волны, величина которого E m {1+1/[2 ( +1)]} E m0 E m0, где E m0 = 8πn o mc 2 ( 1)] 1/2. 2. При учете движения ионов по мере увеличения скорости волны частота её, как и в теории с неподвижными ионами, уменьшается, но только до некоторого минимального значения. Затем, при дальнейшем росте скорости, частота начинает увеличиваться, при некоторой скорости волны снова становится равной плазменной и для ультрарелятивистских волн в холодной плазме частота неограниченно растет при стремлении скорости волны к скорости света.

3. Профили положительной части потенциала с учетом движения ионов при 1 < ε < 100 тоже параболы, далее, при увеличении ε они слегка начинают отличаться от параболы, принимая форму, близкую к косинусу при ε = 1000, а затем наблюдается более сильное отличие формы волны от параболы (или косинуса) и существенное отличие профилей имеет место при ε > Согласно расчетам, при ε > 10 4 профиль приобретает пилообразную форму. Профиль отрицательной части потенциала волн имеет пилообразную форму при ε > 10 как в приближении, где принято, что μ, так и в теории, в которой параметр μ считается конечным.

1. А.И.Ахиезер, Г.Я.Любарский. //ДАН Т С А.И.Ахиезер, Р.В.Половин. //ДАН Т С А.И.Ахиезер, Р.В.Половин. //ЖЭТФ Т. 30. С A.Cavalier. //Nuovo Cimento.1962.V.23. P.440. = p (π/2)(1 – k 2 ) 1/2 / [2E(k) – (1 – k 2 )K(k)] = p (π/2)(1 + γ m ) 1/2 / {2 1/2 [(1 + γ m )E(k) – K(k)]} k = {[1 – (1 – V m 2 ) 1/2 ] / [1 + (1 – V m 2 ) 1/2 ]} 1/2 = [(γ m – 1)/ (γ m + 1)] 1/2. V m = v m /c e E = 2 1/2 m p c [ 1/(1 – V m 2 ) – 1/2 –1/(1 – V 2 ) – 1/2 ] 1/2 при V = 0 E = E m = 2 1/2 m p c (γ m – 1) 1/2 / e v m = u при m = – 1