ХАОС В ПРОСТЫХ МОДЕЛЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Чаще всего оператор эволюции динамической системы, который определяет ее математическую модель, задают в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или системы с дискретным временем (итерируемым отображением). Величины x 1, x 2, …, x N - переменные системы, - вектор управляющих параметров, F 1, F 2, …, F N – некоторые функции.

Если рассматривать величины x 1, x 2, …, x N как координаты точки x в N-мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния ДС в виде этой точки. Данная точка называется изображающей или фазовой точкой, величины x 1, x 2, …, x N - фазовыми координатами точки или фазовыми переменными системы, а пространство состояний – фазовым пространством системы. Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, называемой фазовой траекторией. Правые части уравнений F 1, F 2, …, F N определяют скорость движения изображающей точки в N-мерном фазовом пространстве. x1x1 x2x2 x3x3 x0x0 - фазовая траектория

xnxn x0x0 n 012 x1x1 x2x2 x3x3 3 В общем виде систему с дискретным временем можно записать следующим образом (в виде некоторого рекуррентного соотношения): x – вектор координат состояния; n – дискретное время; F(x) – вектор-функция с компонентами f i, i=1,2,…, N, или функция последования, задающая закон преобразования из предыдущей величины x n в последующую x n+1 ; - вектор управляющих параметров системы. Для одномерного случая уравнение примет вид: x 0 – начальное состояние системы при n = 0. Последовательность точек x n (x 0, x 1, x 2, …, x n ) представляет дискретную фазовую траекторию отображения. Под размерностью дискретной системы N понимают количество независимых переменных состояния (размерность вектора состояния x). Как и для систем с непрерывным временем, оно соответствует числу уравнений.

Фазовая траектория отображения может состоять из одной точки x*, называемой неподвижной точкой отображения F. Для нее выполняется следующее условие: x* = F(x*). Если траектория замкнута и состоит из m точек x* i, i = 1,2,…, m, для которых выполняется условие x * n+m = F (x * n ): x * 2 = F(x * 1 ), x * 3 = F(x * 2 ), …, x * 1 = F(x * m ), то множество точек x * 1, x * 2, …, x * m называют циклом отображения периода m или неподвижными точками кратности m. Для них можно также записать: x * 1 = F(x * m ) = F(F(F…F(x * 1 )…)) = F (m) (x * 1 ). Неподвижная точка отображения является циклом периода 1 (когда m = 1). Квазипериодические и хаотические траектории отображения представляют собой незамкнутые последовательности точек, которые никогда не возвращаются строго в свои предыдущие положения.

Обратимые отображения последования могут быть непосредственно связаны с потоковыми системами, задаваемыми ОДУ. Для того, чтобы от потоковой системы перейти к отображению с дискретным временем, нужно ввести секущую поверхность S (в многомерном случае – гиперповерхность), так, чтобы все фазовые траектории пересекались с ней строго трансверсально. Если рассматривать точки пересечения траекторий с поверхностью S при движении в одном направлении, то поток порождает в S отображение последования, называемое также отображением Пуанкаре. Получаем некоторое отображение секущей поверхности в себя:

Сечение Пуанкаре для системы с периодическим внешним воздействием (*)

Размерность всех предельных множеств в фазовом пространстве системы при переходе к отображению Пуанкаре понижается на единицу, что делает фазовые портреты отображения более наглядными. Предельным циклам потоковой системы соответствуют неподвижные точки или циклы отображения Пуанкаре, состоящие из m точек. Число m определяется тем, сколько раз траектория пересекла поверхность S в выбранном направлении. Квазипериодическим и хаотическим траекториям потоковой системы соответствуют квазипериодические и хаотические незамкнутые траектории отображения. Квазипериодические траектории заполняют замкнутую инвариантную кривую, являющуюся образом двумерного тора в отображении. Хаотические траектории отображения Пуанкаре принадлежат множествам, имеющим сложную геометрическую структуру. Если ДС имеет размерность фазового пространства N = 3, то отображение Пуанкаре будет двумерным. В этом случае оно может быть сведено к отображению плоскости, что делает динамику системы более наглядной.

Искусственно сконструированные модели динамических систем, демонстрирующие режим детерминированного хаоса Отображение «зуб пилы». Оператор эволюции данного отображения задан следующим правилом определения нового состояния по предыдущему: (1) Операция mod 1 обозначает, что берется только дробная часть числа. Итерационная диаграмма (диаграмма Ламерея), иллюстрирующая динамику на нескольких первых шагах дискретного времени при старте из начального состояния x 0. Пусть в качестве начального состояния выбрано некоторое число x 0, принадлежащее интервалу от 0 до 1. Запишем это число в двоичной системе счисления:

Теперь один шаг эволюции во времени согласно уравнению (1) состоит в том, что последовательность нулей и единиц сдвигается влево на одну позицию, и цифра, оказавшаяся по левую сторону от запятой, отбрасывается. Имеем: Присутствие цифры 0 или 1 на первой позиции после запятой показывает, в какой половине единичного интервала – левой или правой пребывает динамическая переменная x n в данный момент.

Логистическое отображение. Это одномерное квадратичное отображение, определяемое следующим образом: где – управляющий параметр, а x n принадлежит интервалу [0, 1]. Данное отображение было введено еще в 1845 г. П. Ферхюльстом для описания динамики популяций в замкнутой среде. Относительная численность особей x n+1 в (n + 1)- й год пропорциональная численности особей в предыдущий год ( x n принимает значения от 0 до 1 и отражает численность популяции в n -м году), а также свободной части жизненного пространства, которая пропорциональна (1 - x n ), т.е. Положительный параметр характеризует скорость роста популяции. /4 М. Фейгенбаум установил, что при увеличении параметра в данном отображении имеет место последовательность бифуркаций удвоения периода, что приводит к возникновению довольно сложного поведения, которое становится хаотическим при больших. x*x* (2)

Отображение пекаря строится на основе динамики типа сдвига Бернулли на множестве последовательностей бесконечных в обе стороны. Соответственно, динамика нового отображения будет описываться двумя переменными. (3)

Отображение «кот Арнольда». Рассмотрим двумерное отображение (4) которое называют отображением кота Арнольда (Arnolds cat map). Причиной для такого названия послужило то, что предложивший это отображение В.И. Арнольд использовал для иллюстрации его действия изображения кота. Геометрически первый шаг процедуры состоит в линейном преобразовании координат, а второй – в переносе элементов картинки, удалившихся за рамки единичного квадрата, обратно в него (взятие модуля).

При итерациях этого отображения закрашенная область (изображение кота) вытягивается вдоль одного направления на каждом шаге и сжимается вдоль второго направления. После достаточно большого числа итераций изображение кота превращается в чрезвычайно узкую полосу, вытянутую вдоль одного направления. В результате картина выглядит как набор большого числа узких чередующихся черных и белых полосок, в которые превратились, соответственно, множество точек, принадлежащих изображению кота, и дополнение этого множества: черная и белая «жидкости» оказываются хорошо перемешанными.

Система Ресслера. Отто Ресслер, немецкий исследователь, непрактикующий медик, интересовался динамическими системами в приложении к химии и биологии. Задавшись целью сконструировать по возможности простую модель с хаотическим поведением, он предложил в 1976 г. автономную систему дифференциальных уравнений, которая служит с тех пор одним из классических объектов нелинейной динамики. Система имеет вид (5) где x, y, z – динамические переменные, a, b, r – параметры. Странный аттрактор система Ресслера, который еще называют ленточным аттрактором Ресслера.

Карта динамических режимов системы Ресслера на плоскости параметров

Хаос в реалистичных моделях физических систем Отображение Эно описывает, в частности, простую механическую систему: Отображение Эно имеет следующий вид: (6) Мишель Эно, французский астрофизик, предложил это отображение в 1976 г. как абстрактный пример ДС, обладающей странным аттрактором. Тем не менее, оно может служить для описания динамики ряда физических систем, например, диссипативный осциллятор и ротатор под импульсным периодическим воздействием.

При |b| < 1 отображение Эно представляет собой диссипативную систему. При b 0 оно сводится к логистическому отображению, а при b 1 - это отображение, сохраняющее площадь, т.е. консервативная система. Странный аттрактор при значениях параметров a = 1.4, b = - 0.3, выбранных в исходной работе Эно.

Карта динамических режимов на плоскости параметров отображения Эно Область расходимости итераций отображения Стационарное состояние равновесия Последовательность бифуркаций удвоения периода

Нелинейные осцилляторы под периодическим внешним воздействием (7)

Рассмотрим систему типа (7) с кубической нелинейной функцией f(x) = x 3. Такую систему называют осциллятором Дуффинга или осциллятором Уеды. Примером может служить механическое устройство, показанное на рисунке. Шарик закреплен на установленной вертикально упругой пластинке, причем коэффициент упругости подобран так, что при малых углах отклонения возвращающая сила упругости в точности компенсирует отклоняющий момент силы тяжести. Заменой = t, X = x уравнение (7) сводится в этом случае к следующему виду: (8) При малой амплитуде A частота колебаний совпадает с частотой внешнего воздействия, а при увеличении этого параметра можно наблюдать более сложное динамическое поведение, включая переход к хаосу. Поскольку функция f(x) нечетная, система (8) обладает симметрией и инвариантна относительно одновременной замены x - x, + /. Поэтому всегда реализуется одна из двух возможностей: 1) аттрактор обладает симметрией относительно указанной замены; 2) аттрактор не обладает симметрией, но имеет симметричного партнера, т.е. в зависимости от начальных условий в системе будут возникать два разных установившихся режима, переходящие один в другой при преобразовании симметрии.

Карта динамических режимов на плоскости параметров для системы (8)

Система Лоренца

Задача о конвекции в подогреваемом снизу слое Рассмотрим слой жидкости глубины h, находящийся в поле тяжести. Пусть на верхней границе поддерживается постоянная температура T 0, а на нижней границе T 0 + T. Из-за того что нагретая жидкость легче холодной, при достаточно большой разности температур возникает конвекционное течение жидкости, описание которого и составляет предмет исследования. В исходной постановке задачи мы имеем дело с распределенной системой – ее состояние характеризуется эволюционирующими во времени полями распределения скорости v(x,y,z,t), плотности (x,y,z,t) и температуры T (x,y,z,t). Изменение этих полей во времени описывается системой уравнений в частных производных.

Модель Лоренца (9) -динамическая система с трехмерным фазовым пространством, описывает динамику нескольких физических систем – конвекцию в слое, конвекцию в кольцевой трубку, одномодовый лазер. Если взять выбранные Лоренцем в исходной работе значений параметров = 10, b = 8/3, r = 28 и провести численное решение уравнений (9) на компьютере, то обнаруживается, что в системе устанавливается хаотический автоколебательный режим. Показанную зависимость x(t) можно интерпретировать наглядно, имея в виду модель водяного колеса. Участки процесса, отвечающие осцилляциям в области x > 0, отвечают вращению колеса в одну сторону, а участки x < 0 – в другую. Видно, что направление вращения время от времени меняется на противоположное, причем число оборотов (осцилляций) в определенном направлении от раза к разу меняется хаотически.

Странный аттрактор или аттрактор Лоренца при указанных «классических» значениях параметров возникает в системе (9) независимо от выбора начальных условий. Это аттрактор квазигиперболического типа, т.к. для него нарушается одно из требований гиперболичности (условие строгой трансверсальности). Бифуркационная диаграмма системы Лоренца на плоскости двух параметров. При очень больших r система демонстрирует простой регулярный режим автоколебаний, которому в фазовом пространстве соответствует предельный цикл. При уменьшении r можно наблюдать переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. В определенных областях по r реализуется переход к хаосу через перемежаемость.

Генератор с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова представляет собой модификацию классической электронной автоколебательной системы – генератора Теодорчика. В схему, содержащую LRC-контур, усилитель и цепь обратной связи, добавляется дополнительный инерционный блок, на вход которого поступает через квадратичный детектор тот же сигнал x, что и на вход основного усилителя. С выхода инерционного элемента сигнал z подается на дополнительный вход основного усилителя и управляет величиной его коэффициента передачи. В простейшем случае, когда собственной нелинейностью усилителя можно пренебречь, динамика описывается системой уравнений (10)

Карта динамических режимов системы ГИН Система имеет неподвижную точку в начале координат, которая является устойчивой при Момент m = 0 отвечает бифуркации Андронова-Хопфа – рождению предельного цикла. При дальнейшем изменении параметров этот цикл в свою очередь может претерпевать различные бифуркации.

Схема Чуа В 1983 г. американский физик и специалист по электронике проф. Леон Чуа (университет Беркли, штат Калифорния) посетил лабораторию японского профессора Т. Мацумото. Исследователи пытались реализовать электронный аналог системы Лоренца. Установка выглядела весьма внушительно, но, к сожалению, не работала из-за определенных недостатков имевшихся электронных компонент. Задавшись целью реализовать все же простую электронную систему, демонстрирующую режим, подобный хаосу Лоренца, проф. Чуа предложил схему, показанную на рисунке, которая содержала единственный нелинейный элемент с кусочно-линейной характеристикой. В дальнейшем эта система была подвергнута всестороннему теоретическому и экспериментальному исследованию и является на сегодняшний день одной из наиболее хорошо исследованных моделей нелинейной динамики.

(11) (12)

Благодаря симметрии, присущей выбранной нелинейной характеристике, странный аттрактор системы Чуа может быть симметричным, подобно аттрактору Лоренца (этот аттрактор еще называют double scroll -«двойной завиток»). В определенной области параметров наблюдается ленточный аттрактор, подобный аттрактору Ресслера, но он имеет симметричного партнера.

Карта динамических режимов в области параметров, где реализуется аттрактор типа Ресслера