Механические волны Уравнение плоской волны Волновое уравнение

Волны Процесс распространения механических колебаний в упругой среде называется механической волной. Волна переносит колебательное движение, энергию этого движения, но не сами частицы среды.

Волны Волна называется поперечной, если колебания частиц среды происходят вдоль направлений, перпендикулярных к направлению распространения волны. Поперечные волны могут распространяться в тех средах, в которых возникают упругие силы при деформации сдвига. Такими свойствами обладают только твердые тела.

Волны Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят вдоль направлений, параллельных направлению распространения волны. Продольные волны могут распространяться в таких средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия или растяжения. Такими средами являются любые тела (твердые, жидкие, газообразные).

Волны Основными параметрами волны являются: фазовая скорость, частота колебаний, период колебаний Т, циклическая частота ω, длина волны λ.

Волны Фазовая скорость, или скорость распространения волны -это скорость, с которой перемещается в пространстве та или иная фаза колебания. Фазовая скорость зависит от плотности среды и ее упругих свойств.

Волны Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых любой частицей среды, в которой распространяется волна, за единицу времени. Период колебаний Т – промежуток времени, в течение которого любая из частиц совершает одно полное колебание.

Волны Циклическая частота – число полных колебаний, совершаемых за секунд. Длина волны : – расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковых фазах (что соответствует сдвигу фаз, равному ). Длина волны равна тому расстоянию, на которое волна распространяется за время, равное периоду:.

Волны Волновая поверхность – это геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В зависимости от формы волновой поверхности различают плоские, сферические, цилиндрические, эллиптические волны и др.

Волны Поверхность, отделяющая колеблющиеся частицы от частиц, еще не пришедших в колебания, называется фронтом волны. Фронт волны в отличие от волновых поверхностей, которые неподвижны, перемещается со скоростью, равной скорости распространения волны.

Волны Нормаль, восстановленная к фронту волны в данной точке, указывает, в каком направлении распространяется волна в этой точке. Связь между основными параметрами волны устанавливается формулами:

Волны Величину называют волновым числом. Выразив через и, можно записать

Уравнение плоской волны Уравнение волны позволяет найти смещение любой частицы среды, в которой распространяется волна, для любого заданного момента времени: S=S(х, у, z, t), где S – смещение произвольной частицы от положения равновесия; х, у, z – декартовы координаты равновесного положения этой частицы; t – время.

Уравнение плоской волны Зависимость S=S(х, у, z, t) должна быть периодической функцией как координат, так и времени. Рассмотрим распространение плоской волны в положительном направлении оси x.

Уравнение плоской волны Выделим две волновые поверхности так, чтобы одна проходила через начало координат (поверхность О), другая – через произвольную точку с координатой х (поверхность Х).

Уравнение плоской волны Пусть колебания частиц, принадлежащих волновой поверхности О, происходят по закону Колебания частиц, принадлежащих поверхности Х, начнутся позже, так как требуется некоторое время для того, чтобы волна прошла расстояние, отделяющее поверхности О и Х.

Уравнение плоской волны Это время равно, где - скорость распространения волны. Следовательно, колебания частиц поверхности Х будут отставать от колебаний частиц поверхности О на :

Уравнение плоской волны Уравнение является уравнением плоской волны, распространяющейся вдоль оси х. Это уравнение можно записать в виде, если учесть:

Уравнение плоской волны Мгновенный график волны имеет вид

Уравнение плоской волны Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в произвольном направлении

Уравнение плоской волны Колебания в плоскостях, проходящей через точку О и удаленной от этой точки на расстояние, будут происходить по законам:

Уравнение плоской волны Рассмотрим скалярное произведение Уравнение волны принимает вид

Волновое уравнение Уравнение плоской волны является решением соответствующего дифференциального уравнения, которое называется волновым. Волновое уравнение связывает вторые частные производные от смещения по координатам со вторыми производными от смещения по времени.

Волновое уравнение Продифференцируем уравнение волны дважды по времени и по координатам :

Волновое уравнение

Сложив вторые производные по координатам и сопоставив сумму со второй производной по времени, получим волновое уравнение Использовали