1 Теория множеств Декартово произведение

2 Декартовым или прямым произведением множеств A 1, A 2,...,A n называется множество {(x 1, x 2,...,x n )|x 1 A 1, x 2 A 2,..., x n A n }, обозначаемое через A 1 ×A 2 ×...×A n. Если A 1 =A 2 =...=A n, то множество A 1 ×A 2...×A n называется n-ой декартовой степенью множества A и обозначается A n. Положим по определению A 0 =. Если хотя бы одно из множеств A i пусто, то A 1 ×A 2...×A n =.

3 Задание 1 Пусть А – множество точек отрезка [0, 1]; B – множество точек отрезка [2, 3]; C={4, 5, 6}; D – множество точек квадрата с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Найти геометрическую интерпретацию множеств: A×B, A×C, C×B, A×D, C×D, D×B.

4 Задание 2 Пусть N={1,3,7} и M={0,1,3,4,8}. Из каких элементов состоят множества N×M и M×N? (N×M) (M×N) и (N×M) (M×N)? (N M)×(M N) и (N M)×(M N)? Найти число элементом множества X×Y, если множество X состоит из n элементов, а множество Y из m элементов.

5 Задание 3 Пусть A={1,2}, B={a, b}, C={c, d}, D={ d | d N и x

6 Задание 4 Определить множества

7 Задание 5 Определить множества A и B, если известно, что

8 Задание 6 Пусть даны множества A={a,b,c,d,e,f,g,h} B={1,2,3,4,5,6,7,8}. Тогда A×B есть множество клеток шахматной доски. Описать подмножество белых клеток шахматной доски.

9 Задание 7 Доказать, что (A×B) (C×D) (A C)×(B D). При каких A, B, C, D включение можно заменить равенством? Доказать, что для произвольных A, B, C, D: (A B)×C=(A×C) (B×C), (A\B)×C=(A×C)\(B×C), A×(B\C)=(A×B)\(A×C), (AB)×(СD)=(A×C)(B×D), A×B=(A×D)(C×B), где A C и B D. Пусть A, B и (A×B) (B×A)=C×D. Доказать, что в этом случае A=B=C=D.

10 Задание 8 Доказать, что существуют такие множества А, В и С, что A×BB×A, (А×В)×СА×(В×С). Доказать, что если А, В, С и D непустые, то A B и C D A×C B×D A=B и C=D A×C=B×D