Основы тригонометрии 9 класс (Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений/Ш.А.Алимов и др. – М.: Просвещение, 2003.) Учитель математики I кв.категории РМОУ Обская ООШ Водянова Е.А.

Содержание Радианная мера угла Радианная мера угла. Применение. Поворот точки вокруг начала координат Синус и косинус угла Тангенс и котангенс угла Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла Зависимость между тангенсом и котангенсом одного и того же угла Синус, косинус, тангенс и котангенс углов α и –α Формулы приведения

Радианная мера угла l = R R R α R α – центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан 1 рад = (180/π)° α рад = (180 α / π)° 1° = (π /180) рад α° = (πα /180) рад

Применение радианной меры угла Длина дуги Если α = 1 рад, то l = R. Если α = α рад, то l = αR. Например, R = 3,06 м, α = π/2, тогда l = π/2 3,06 = 1, 53π 4,8 м Площадь сектора S сек = πR 2 α / 360° (α в градусах) S сек = πR 2 / 2 – площадь полукруга – сектора в π радиан => S сек = R 2 / 2 – площадь сектора в 1 радиан. Тогда площадь сектора в α рад S сек = (R 2 / 2) α

Поворот точки вокруг начала координат у α Р(1;0) – α х При повороте точки Р(1;0) на 2π, т.е. 360°, точка возвращается в первоначальное положение. При повороте этой точки на – 2π, т.е. на – 360°, она также возвращается в первоначальное положение.

Вывод: Каждому действительному числу α соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки Р(1;0) на угол α радиан. И… Одной и той же точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел α + 2πk, где k – целое число, задающих поворот точки Р(1;0) в точку М.

Синус и косинус угла Определение. Синусом угла α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α. Обозначение: sin α Определение. Косинусом α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α. Обозначение: cos α Косинус и синус угла определены для любого α -1 < sinα < 1 -1 < cosα < 1

Тангенс и котангенс угла Определение. Тангенсом угла α называется отношение синуса угла α к его косинусу. Обозначение: tg α Определение. Котангенсом угла α называется отношение косинуса угла α к его синусу. Обозначение: tg α Тангенс α определен для любых углов, кроме α = π/2 + πk, kЄZ Котангенс α определен для любых углов, кроме α = πk, kЄZ

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса у у у sin α cos α tg α ctg α + + – + – + 0 x 0 х 0 х – – – + + –

Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла у α х 0 х у М (cos α; sin α) По определению синуса и косинуса угла х = cos α, у = sin α. Т.к. точка М Є окр(О; 1), то х 2 + у 2 = 1. Следовательно, cos 2 α + sin 2 α = 1 Получили основное тригонометрическое тождество

Зависимость между тангенсом и котангенсом одного и того же угла sin α cos α sin α По определению тангенса и котангенса угла tg α = ctg α = Перемножая эти равенства, получаем tg α ctg α = 1 tg α = 1/ctg α ctg α = 1/tg α 1 + tg 2 α = 1/cos 2 α 1+ ctg 2 α = 1/sin 2 α

Синус, косинус, тангенс и котангенс углов α и –α у sin α M 1 α P(1;0) –α cos α x –sin α M 2 sin (–α) = – sin α cos (–α) = cos α tg (–α) = –tg α ctg (–α) = –ctg α

Формулы приведения y π/2 0 x –π/2 sin (α + 2πk) = sin α cos (α + 2πk) = cos α, k Є Z sin (π – α) = sin α cos (π – α) = –cos α sin (π/2 – α) = cos α cos (π/2 – α) = sin α y π 0 2π x