В физике и других прикладных науках - как "средство" записи данных и их преобразования. В повседневной жизни на вычислении матриц базируется распределение товаров в супермаркетах особо крупных размеров. Психологи строят матрицы. Также используются в маркетинге. В технических областях очень часто, например, для численных методов расчета электрических цепей.

Решение систем уравнений методом Жордана-Гаусса.

Жордан Камиль Мари Эдмон Жордан Камиль Мари Эдмон ( )-французский математик. Член Парижской Академии Наук (1881г.). Родился в Лионе. Окончил Политехническую и Горную школы в Париже. Работал в Политехнической школе и в Коллеж де Франс. Труды по алгебре, теории чисел, теории функций, геометрии, топологии, дифференциальным уравнениям и кристаллографии. Известны теорема Жордана- Гельдера о композиционных рядах групп, нормальная (жорданова) форма матриц, кривая Жордана, теорема Жордана, мера Жордана. Ввел понятие функций с ограниченным изменением. Написал первый систематический куре теории групп и теории Галуа (1870г.). "Трактат о подстановках", разъяснивший и дополнивший краткие и сжатые исследования Э. Галуа, сделал их достоянием широких математических кругов. Изучал линейные группы и их подгруппы, ввел понятие факторгруппы. Первый исследовал бесконечные группы. По 3-томному "Курсу анализа" Жордана ( гг.) в Петербургском университете изучали дифференциальное и интегральное исчисления, а также приложения анализа к геометрии. В геометрии Жордан исследовал вращения n-мерного пространства, формулы Френе в n-мерном пространстве. В гг. был ред. и издателем французского математического журнала.

Иоганн Фридрих Карл Гаусс Гаусс Карл Фридрих ( )- Иоганн Фридрих Карл Гаусс родился 30 апреля 1777г. Едва трех лет от роду он уже умел считать и выполнять элементарные вычисления. Однажды, при расчетах своего отца, который был водопроводным мастером, его трехлетний сын заметил ошибку в вычислениях. Расчет был проверен, и число, указанное мальчиком было верно. В 1784г. Карл пошел в школу. Учитель очень заинтересовался маленьким Гауссом и в 1786г. он получил из Гамбурга специальный арифметический текст. Карл покинул родительский дом в 1788г., когда поступил в школу следующей ступени. Гаусс не терял в новой школе времени даром: он хорошо выучил латынь, необходимую для дальнейшей учебы и карьеры. В 1791г. Гаусс, в качестве одаренного молодого горожанина, был представлен государю. Видимо, юноша произвел впечатление на герцога: тот для начала пожаловал Гауссу стипендию в 10 талеров в год. В 1792г.-1795гг. Гаусс был учеником новой гимназии- Коллегии Карла. Это была школа избранных. Он был принят туда благодаря своим успехам в учебе. За время учебы Гаусс изучил работы Ньютона, "Алгебру" и "Анализ" Эйлера, работы Лагранжа. Первый эффектный успех пришел к Гауссу, когда ему не было еще девятнадцати - доказательство того, что можно построить правильный 17 - угольник циркулем и линейкой. В 1795г. Гаусс поступил в Геттингенский университет, чтобы изучать математику. Осенью 1798г. он покинул университет по причинам не ясным нам и вернулся в родной город Брауншвейг. Герцог согласился продолжать выплачивать ему стипендию размером в 158 талеров в год. 16 июня 1799г. Гаусс получил степень доктора философии. Гаусс скончался 23 февраля 1855г.

Системы линейных уравнений. Метод Жордана-Гаусса I. Система из m линейных уравнений с n неизвестными в общем случае записывается так: a 11 x 1 +a 11 x 2 +…+a 1n x n =b 1 a 21 x 2 +a 22 x 2 +…+a 2n x n =b 2 (1) …………………………… a m1 x 1 +a m2 x 2 +…+a mn x n =b m Коэффициенты {a ij } i=1,2,…m, j=1,2,…n, и свободные члены {b i } i=1,2..m, - заданные действительные числа. Первый индекс i в записи aij указывает на номер уравнения, второй – j – номер неизвестной. Решить систему (1) означает найти все её решения, т.е. все такие наборы чисел (x 1, x 2, …x n ), которые при подстановке во все уравнения системы превращают каждое из них в верное равенство, или доказать, что решений нет. Система (1) называется: -совместной, если имеет хотя бы одно решение; -определенно совместной, если имеет только одно решение; -неопределенно совместной, если имеет более одного решения; -несовместной, если не имеет ни одного решения.

II. Две системы называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или обе несовместны. Переход от одной системы к равносильной осуществляется при помощи множества элементарных преобразований: -умножение обеих частей любого уравнение на отличное от нуля число; -прибавление к одному из уравнений произвольного другого, умноженного на любое число; -удаление (вычеркивание) из системы тривиального уравнения: 0x 1 +0x 2 +…+0x n =0; -если в системе имеются два или более уравнения с пропорциональными коэффициентами, то из них сохранить нужно одно. Уравнение 0x 1 +0x 2 +…+0x n =b, где b0, называется противоречивым. Система, содержащая такое уравнение, сама противоречива, т.е. несовместна.

III. Один шаг метода Жордана-Гаусса состоит в приведении системы (1) к виду a`11x1+…+a`1q-1xq-1 +a`1q+1x+q+1+…+a`1nxn=b`1 …………………………………………………………….. a`p1x1+…+a`pq-1xq-1+xq+a`pq+1xq+1+…+a`pnxn=b`p(2) ……………………………………………………………. a`m1x1+…+a`mq-1xq-1+a`mq+1xq+1+…+a`mnxn=b`m в которой одна неизвестная xq сохранена с коэффициентом 1 только в p-м уравнении, а из остальных исключена система (2) назовем разрешенной относительно xq, поскольку неизвестную xq легко выразить через остальные неизвестные системы. Для того, чтобы получить систему (2), очевидно, что: 1). коэффициент apq при xq в уравнении с номером p должен быть отличен от нуля; в дальнейшем apq назовем ведущим или разрешающим коэффициентом, a p-e уравнение (p – я строка) ведущим; 2). уравнение с номером p надо разделить на apq; 3). для получения нулевых коэффициентов при xq в остальных уравнениях необходимо, чтобы уравнение с номером i вычесть ведущие уравнение с начала разделенное на apq, а затем домноженное на aiq. Тогда все остальные коэффициенты aij и bi преобразуются по формулам apj*aiq bp*aiq a`ij=aij - –––––, b`i=bi - –––––––, ip, jq. ap apq эти формулы будем называть формулами Жордана-Гаусса. Расчет по ним удобно выполнять, пользуясь мнемоническим правилом прямоугольника, наглядно показанных на следующих диаграммах: aij ­ aiq apq - apj aiq - bi apj - apq apj - apq aiq - aij apq - bp aij - aiq

IV. На втором шаге другую неизвестную сохраним в другом уравнении с коэффициентом 1, исключая из остальных. Через r (r m) шагов в систему (1) можно привести к системе, состоящей из r уравнений (остальные (m – r) тривиальных уравнений, если такие были отброшены) и система содержит r разрешенных неизвестных. Эти r неизвестные назовем базисными (использую векторную терминологию, которая появится позже), остальные – свободными, независимыми. Основная часть метода Жордана-Гаусса завершена. Если r = m = n, то система разрешена относительно всех неизвестных, т. е. однозначно совместна. Если r < n, то выражая базисные (зависимые) неизвестные через свободные (независимые), получаем «общее» решение системы, в соответствующем базисе, которое впоследствии следует параметризовать и из которого можно получить различные частные решения, в том числе базисное. Базисным называется решение, соответствующее нулевому набору свободных неизвестных. Заметим, что «общее» решение определяется неоднозначно, оно зависит от того, какие неизвестные являются свободными (независимыми, произвольными) и какие являются зависимыми (базисными). V. Метод Жордана-Гаусса удобно реализовать в виде таблицы, которую назовем таблицей Гаусса. Каждый ее блок содержит результат одного преобразования или одну итерацию. Столбец блока таблицы, состоящий из нулей и одной «1» будем называет единичным столбцом. Цель преобразований Жордана-Гаусса получить r (r < m) единичных столбцов. Неизвестные, соответствующие единичным столбцам, являются базисными, остальные свободными. Последний блок таблицы изображает систему, разрешенную относительно r базисных неизвестных.

П ример с решениями. Пример 1. Решить линейную систему. x 1 +2x 2 -3x 3 -x 4 = 10 -2x 1 -3x 2 +7x 3 = -23 2x 1 +6x 2 -5x 3 -5x 4 = 18 x 1 +3x 3 +4x 4 = -11

Решение. Имеем m = 4, n = 4. Первый блок таблицы Гаусса данной системы имеет вид (св.ч. означает «свободные члены» уравнений системы, вертикальная черта заменяет знаки равенства): x 1 x 2 x 3 x 4 св.ч

1. Выполним первую интеграцию, т. е. получим первый единичный столбец, выбирая в качестве ведущего коэффициента a 11 = 1 (в таблице он обведен кружком). Для этого над строками таблицы (над уравнениями системы) выполним следующие действия (они обозначены справа от таблицы): 1) первую строку сохраняем (переписываем); 2)первую строку, умноженную на 2, прибавим ко второй; 3)первую строку, умноженную на -2, прибавим к третьей; 4)первую строку прибавим к четвертой. Получим второй блок таблицы.

x 1 x 2 x 3 x 4 св. ч

2. Превратим в единичный третий столбец, в нем уже имеется один «0». Ведущий коэффициент a 23 = 1 обведен кружком. Далее: 1) вторую строку, умноженную на 3, прибавим к первой и запишем вместо первой строки; 2) перепишем вторую строку без изменения; 3) вторую строку, умноженную на -1, прибавим к третьей; 4) четвертую строку перепишем без изменения. Именно эти действия выражаются числами и стрелками, показанными справа от второго блока таблицы. Третий блок таблицы имеет вид:

x 1 x 2 x 3 x 4 св. ч

3. Следующая интеграция заключается в получении третьего единичного столбца. Для этого принимаем в качестве ведущего коэффициента a 23 = 1, и выполним следующие действия: третью строку, умноженную на -5, -1, -2, прибавим к первой, второй и четвертой строкам соответственно. Третью строку переписываем без изменений. Получаем четвертый блок: x 1 x 2 x 3 x 4 св. ч

4. Наконец, последнюю интеграцию выполним, выбирая в качестве ведущего коэффициента a 44 =-3. Четвертую строку разделим на -3. Остальные действия считаем очевидными. Получаем: x 1 x 2 x 3 x 4 св. ч

5. После четырех интеграций получили таблицу, изображающую систему, разрешенную относительно всех неизвестных (r = m = n = 4): x 1 = -2, x 2 = 2, x 3 = -3, x 4 = 1 Запишем это также в виде: x = (-2,2,-3,1). Система однозначно совместна. Примечание. Подставьте эти значения неизвестных в данную систему и убедитесь, что получаются верные числовые равенства. Упражнения. 1. x 1 +3x 2 -5x 3 =-1 2x 1 -x 2 +3x 3 =4 3x 1 +2x 2 -5x 3 =0 Ответ: x =(1, 1, 1) 2.x 1 -3x 2 +2x 3 -3x 4 -2x 5 =4 x 1 -x 2 -x 3 -x 4 +x 5 =1 x 1 +2x 2 +x 4 +3x 5 =-6 3x 1 -2x 2 +x 3 -3x 4 +2x 5 =0 Ответ: система несовместна.

Решение систем уравнений методом Крамера.

КРАМЕР Габриель Крамер Габриель ( )- швейцарский математик. Родился в Женеве. Был учеником и другом Иоганна Бернулли. Издатель трудов Иоганна и Якова Бернулли, переписки Г. Лейбница с И. Бернулли. Учился и работал в Женеве. Основные труды по высшей алгебре и аналитической геометрии. Установил и опубликовал (1750г.) правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории определителей, но при этом еще не пользовался удобным обозначением определителей. Показал, что результант двух многочленов образуется с помощью симметрических функций. Во "Введении в анализ алгебраических кривых" (1750г.) существенно развил идеи современников по аналитической геометрии; исследовал особые точки, ветви, кривизну алгебраических кривых высших порядков. В 1742г. Крамер обобщил на случай трех неподвижных точек поставленную еще Паппом задачу о вписании в круг треугольника, стороны которого проходят через три точки, лежащие на одной прямой. В геометрии известен парадокс Крамера. Член Лондонского королевского общества (1749г.)

Метод Крамера. 1. Если в системе (3) число уравнений равно числу неизвестных (m = n): a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2n x n =b 2 (3) …………………………… a n1 x 1 +a n2 x 2 +…+a nn x n =b n

и система имеет единственное решение, то оно может быть найдено при помощи формул Крамера Δ 1 Δ 2 Δ n x 1 = ––, x 2 = ––, …, x n = ––, (4) Δ Δ Δ где основной определитель системы (3), который символически записывается так: a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n Δ= ………………..,(5) a n1 a n2 … a nn

а 1, 2,..., n получаются из Δ, если в нем заменить соответственно первый, второй,..., n-й столбец на столбец из свободных членов. называется определителем порядка n: он состоит из n строк и n столбцов. 2. Если n = 1, то состоит из одного элемента (числа) = |a 11 | (в этом случае вертикальные черточки означают «определитель», а не «модуль»). По определению |а 11 | = а 11. Если n = 2, то Δ = a 11 a 12 = a 11 a 12 -a 21 a 22 a 21 a 22

П р и м е р. Для системы уравнений 2x 1 – x 2 = 3 3x 1 + 4x 2 = 7 имеем: Δ = 2 -1 = 2*4 – 3*(-1)= 8+3 =11, 3 4 Δ 1 = 3 -1 = 12-(-7)= 19, 7 4 Δ 2 = 2 3 = 14-9 = Ответ: x 1 =19/11 x 2 =5/11

1. Если для квадратной системы (3) 0, то она имеет единственное решение и оно определяется по формулам (4). 2. Если = 0 и хотя бы один из определителей j 0 ( j = 1,2,...,n), то система несовместна. 3. Если = 1 = 2 =... = n 0, то система (3) неопределенно совместна. Примечание. В случае 3 решить систему можно методом Жордана- Гаусса. Вместе с тем ее можно решить также методом определителей. Только формулы Крамера применимы не к системе (3), а к модифицированной системе. Пример. Решить систему 3x 1 – 2x 2 + x 3 = -10 2x 1 + 3x 2 – 4x 3 = 16 x 1 – 4x 2 + 3x 3 = -18 Теорема (Крамера).

Решение. Имеем: Δ= = 3* * = = 3(9-6) + 2(6+4)+ (-8-3)= = Δ 1 = = Δ 2 = = Δ 3 = = Следовательно, x 1 = -1, x 2 =2, x 3 = -3 или x = (-1, 2, -3)

Упражнения: 1.2x 2 -x 3 +2x 4 =-3 x 1 +x 2 +3x 3 =10 -2x 1 +x 2 -3x 3 +2x 4 =-12 3x 1 +2x 2 -x 4 =3 Ответ: (2, -1, 3, 1) 2. x 1 -2x 2 -x 3 +2x 4 =7 2x 1 -x 2 +3x 3 -x 4 = 5 3x 1 -3x 2 +2x 3 +x 4 =10 Ответ: несовместна.

Участники: Григорова Майя Митрофанова Ирина Руководитель: Стромакова Н.А.