Математический плюрализм – современный вызов математике? В.Л.Васюков Институт философии РАН

20-е столетие явилось свидетелем нескольких попыток построить (часть) математику на различных основаниях, отличающихся от тех, которые дает ей классическая логика. Основополагающие интуиционистские и конструктивные построения теории множеств, арифметики, анализа, и т..д. позднее сменились подобными же построениями, основанными на релевантной, паранепротиворечивой, модальной и других неклассических логиках. Предмет исследования подобных теорий может быть назван неклассической математикой и формально пониматься как изучение (части) математики, которая формализована, или может быть в принципе формализована, в рамках некоторой логики, отличной от классической. Предусмотрены следующие основные секции (тематика их может быть расширена): Интуиционистская математика: арифметика Гейтинга, интуиционистская тория множеств, топосные основания математики и т.д. Конструктивная математика: конструктивная теория множеств или типов, бесточечная топология и т.д. Подструктурная математика: релевантная арифметика, наивная теория множеств без сокращений, аксиоматическая теория нечетких множеств и т.д. Противоречивая (паранепротиворечивая) математика: исчисление бесконечно малых, противоречивая теория множеств и т.п. Модальная математика: арифметика или теория множеств с эпистемическими, алетическими или другими модальностями, принципы модального выделения, модальная трактовка пустых объектов, модальный структурализм и т.д. Первая конференция «Неклассическая Математика 2009» пройдет июня 2009 в г. Хейнице, Чехия.

Неевклидовы геометрии

Нечеткая теория множеств A1. Аксиомы равенства: u (u = u); u.v(u = v v = u), u,v,w(u = v v = w u = w); u,v.w(u = v u w v w); u,v,w(u = v w u w v). A2. Экстенсиональность: u,v( z(z w z v) u = v). A3. Аксиома пары: u,v x z(z x z = u z = v). A4. Объединение: u x z(z x y u(z y). A5. Степень: u x z(z x y z(y u). A6. Индукция: Ext (x) x( y x (y) (x)) x (x). A6. Отделение: x y z(z y z x z(z = z (z))). A7. Аксиома выделения: u[ yExt (x,y) v( x u y (x,y) x u y( (y v) (x,y)))]. A8. Бесконечность: x ( y(y x y x( z(y z)). A8. Двойное долполнение: u x z(z x (z u)). A7. Лемма Цорна: y(Chain(y,x) y x zMax(z,x), где Chain(y,x): t(t y (y x) t,u y(t u u t), Max(z,x): z x t x(z t z = t) (здесь w u означает (w u), а x z означает (x z)) Petr Hajek

В работе Г. Такеути «Квантовая теория множеств» доказано, что квантовая теория множеств (сконструированная mutatis mutandis таким же образом, что и нечеткая теория множеств) выполняется в квантовозначном универсуме. Квантовая математика G.Takeuti

«…математика, основанная на квантовой логике, имеет очень богатое математическое содержание. Это ясно демонстри- руется тем фактом, что имеется много полных булевых алгебр внутри квантовой логики. Для каждой полной булевой алгебры B математика, основанная на B, как показано… имеет богатое математическое значение. Поскольку математика, основанная на B, может рассматриваться как подтеория математики, основанной на квантовой логике, нет никаких сомнений относительно того факта, что математика, основанная на квантовой логике, очень богата. Cитуация, по-видимому, выглядит следующим образом. Математика, основанная на квантовой логике, чересчур огромна, чтобы довести ее до конца »

Релевантная арифметика Арифметика Пеано (PA) Первопорядковая классическая логика (FOL) + Аксиомы Пеано-Дедекинда: (A0): ¬(x = 0) (A1): x = y x = y (A2): x + 0 = x (A3): x + y = (x + y) (A4): x · 0 = 0 (A5): x · y = x · y + x (A6): x = y x = y (A7): x = y (x = z z = y) (A8): A[0] x(A[x] A[x]) xA[x] Релевантная арифметика Пеано R# FOL заменяется на R Предупреждение: теперь означает релевантную, а не классическую импликацию (A0): ¬(x = 0) (A1): x = y x = y (A2): x + 0 = x (A3): x + y = (x + y) (A4): x · 0 = 0 (A5): x · y = x · y + x (A6): x = y x = y (A7): x = y (x = z z = y) (A8): A[0] x(A[x] A[x]) xA[x] PA A не влечет R# A Р. Мейер

ФОРМАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ A = (S,,1,,Pos) является формальной топологией тогда и только тогда, когда (S,,1) есть коммутативный моноид, (формальное покрытие) удовлетворяет следующим условиям: a U (рефлексивность) a U a U ( b U)(b V) (транзитивность) a V a U ( - слева) a b U a U a V ( - справа) a {b c:b U,c V} а Pos (предикат позитивности) удовлетворяет условиям Pos(a) a U (монотонность) ( b U)Pos(b) Pos(a) a U (позитивность) a U Если в топологии само понятие топологии обычно задается с помощью постулирования множества открытых множеств и их замкнутости относительно теоретико-множественного пересечения, то, модифицируя пересечение, мы получим различные топологии в тех же самых исходных рамках Giovanni Sambin

Формальная топология Для данной формальной предтопологии A = (S,,1, ) и множества A S мы называем x A граничным элементом A, если все предпокрытия x пересекаются как с A, так и с его дополнением S\A. Граница A множества A представляет собой совокупность всех граничных элементов A, т.е. A = {x S: U(x U U A и U (S\A) )}. Подходя к этому определению более формально (т.е. обобщая его), мы можем определить формальную границу A как A = {x S: U(x U U A и U A )}, где A = {x S: –x A} и – есть унарная операция на S, например, заимствованная из моноида де Моргана D = S,,, –, 1 определенного на S

Формальная топология Все эти конструкции кажутся чересчур искусственными, чтобы принимать их в расчет (по крайней мере, с методологической точки зрения). Но ситуация изменяется, если мы будем иметь дело с неклассическими теориями множеств в классическом универсуме. Если, например, с самого начала все построения выполняются в рамках теории множеств, основывающейся на интуиционистской пропозициональной логике с сильным отрицанием – логике с двумя отрицаниями, чьим алгебраическим эквивалентом является алгебра Нельсона, то присутствие двух границ в нашей топологии будет естественной особенностью рассмотрения. Следовательно, если допускать множественность логических оснований (становясь на позицию логического плюрализма), то стоит принимать во внимание возможные топологические особенности рассматриваемой формальной топологии.

Формальная топология Как показали Г. Биркгоф и И. фон Нейман, математическими эквивалентами экспериментальных высказываний о квантовомеханической системе являются векторные подпространства гильбертова пространства. Теоретико- множественное пересечение двух экспериментальных высказываний (представленных как замкнутые векторные подпространства гильбертова пространства) также будет экспериментальным высказыванием (т. е. замкнутым векторным подпространством гильбертова пространства). Отсюда можно стандартно определить топологию, используя стандартное определение границы Отрицанием некоторого экспериментального высказывания является его ортогональное дополнение (т.е. ортогональное дополнение некоторого замкнутого векторного подпространства). Если на основании ортогонального дополнения определить формальную квантовую границу как это делается в формальной топологии, то полученная квантовая топология будет отличаться от «классической» топологии.

Элементарная теория категорий С точки зрения логики теория категорий может рассматриваться как элементарная теория, чьи категорные» нелогические аксиомы добавлены к первопорядковому исчиcлению с равенством. Подобный подход был реализован еще в е годы У. Хэтчером, Ж.Блан и М.Р. Донадью и др. Язык элементарной теории категорий ETAC состоит из: (i) счетного множества переменных двух типов: переменных типа объект: x 1, x 2, … переменных типа стрелки: f, g, h, … (ii) логических констант:,,,,,,, ; (iii) тернарного предиката D(-, -, -), где первая переменная имеет тип стрелки, а две других переменных являются переменными типа объект (D(f,x 1,x 2 ) означает «f есть стрелка из x 1 в x 2 »); (iv) тернарного предиката (-, -, -), где все переменные имеют тип стрелки ( (f,g,h) означает «h является композицией f и g»). Аксиомы ЕТАС Ах1. f !x 1,x 2 [D(f,x 1,x 2 )] Ax2. x 1 i [ x 1,i) D(i,x 1,x 1 )], где x 1,i) представляет собой формулу f,g,x 2,x 3 [D(f, x 1, x 2 ) D(g, x 3, x 1 ) (i,f,f) (g,i,g)] Ax3. h (f, g, h) x 1, x 2, x 3 [D(f, x 1, x 2 ) D(g, x 2, x 3 ) D(h, x 1, x 3 )] Ax4. D(f,x 1,x 2 ) D(g,x 2,x 3 ) h (f,g,h) Ax5. (f,g,h) (f,g,h ) h = h Ax6. (f,g,k) (g,h,l) (f,l,m) (k,h,m ) m = m

Элементарная теория категорий N.C.A.da Costa Otavio Buenoi Anelice Volkov Паранепротиворечивая элементарная теория категорий получается при замене классической первопорядковой логики с равенством, лежащей в основании элементарной теории категорий на паранепротиворечивую логику С 1 = Пусть *A есть A A 0 (где A 0 есть (АC А)). Формула F* является той же формулой F, в которой все заменены на *. Паранепротиворечивая элементарная теория категорий получается путем удвоения аксиом обычной теории категорий, когда аксиомы паранепротиворечивой теории категорий включают в себя все старые аксиомы с и новые аксиомы, в которых заменено на *.

Теория топосов Топос представляет собой категорию специального вида, в котором существует выделенный объект, обладающий той особенностью, что он представляет собой алгебру Гейтинга, структуру которой он навязывает различным уровням топоса. Релевантная алгебра Паранепротиворечивая алгебра Ортомодулярные решетки

Адаптивная математика? D.Batens Адаптивная логика характеризуется верхней граничной логикой, нижней граничной логикой и адаптивной стратегией. Верхняя логика определяет множество логических предпосылок. Нижняя логика отменяет некоторые из этих предпосылок. Интуитивная идея заключается в том, что множество предпосылок истолковывается «насколько это возможно» в соответствии с предпосылками верхней логики. Адаптивная стратегия устанавливает точное значение этой «максимальной возможности». Если, например, классическая логика служит верхней граничной логикой, а паранепротиворечивая логика - нижней, то если предпосылки непротиворечивы, то адаптивная логика дает все классические следствия, если же они противоречивы, то адаптивная логика все равно дает больше следствий, чем паранепротиворечивая. Адаптивная логика характеризуется верхней граничной логикой, нижней граничной логикой и адаптивной стратегией. Верхняя логика определяет множество логических предпосылок. Нижняя логика отменяет некоторые из этих предпосылок. Интуитивная идея заключается в том, что множество предпосылок истолковывается «насколько это возможно» в соответствии с предпосылками верхней логики. Адаптивная стратегия устанавливает точное значение этой «максимальной возможности». Если, например, классическая логика служит верхней граничной логикой, а паранепротиворечивая логика - нижней, то если предпосылки непротиворечивы, то адаптивная логика дает все классические следствия, если же они противоречивы, то адаптивная логика все равно дает больше следствий, чем паранепротиворечивая. Адаптивная математика Нижняя классическая Верхняя неклассическая Адаптивная стратегия – выявить все возможные нестандартные математические результаты

Математический плюрализм

Оппозиция евклидовой и неевклидовой геометрий: является ли наше пространство глобально евклидовым, а локально неевклидовым, или наоборот: оно глобально неевклидово, будучи в то же время локально евклидовым. Оппозиция классической и неклассической математик: является ли наша математика глобально классической, а локально неклассической, или наоборот: она глобально неклассическая, будучи в то же время локально классической.