Интеграл Тема: Учебник: Колмогоров А. Н. и др. « Алгебра и начала анализа для10-11классов» Выполнила: Рябкова Ю.И

Пусть на [а;в] Задана f(х) – непрерывная, не имеющая на нем знака ав y= f(x) Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а;b] называют криволинейной трапецией и прямыми х=а, х=b х У

Теорема: Если f – непрерывная и неотрецательная на отрезке [а;b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообраной на отрезке [а;b], т.е. S= F(b) – F(а) Доказательство: Рассмотрим S(x) определенную на [а;в] аb y= f(x) х У х S(x) S(а)=0, S тр =S(b) ΔS(x) = S(x+Δx)-S(x) f(x)*Δx x+Δx ΔSΔS При Δх 0, тогда ΔS(x) ΔxΔx f(x), т.е. S´(x) = f(x) => ΔS(x) = F(x) + c

ΔS(x) = F(x) + c Найдем с=? ΔS(а) = F(а) + c => c= - F(а) Теорема: Если f – непрерывная и неотрецательная на отрезке [а;b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообраной на отрезке [а;b], т.е. S= F(b) – F(а) Доказательство ΔS(x) = F(x) - F(а) S тр =S(в)= F(b) - F(а) Вывод: Чтобы найти S тр надо взять первообразную и найти её приращение, полученное число и даст S тр

Пусть на [а;b] Задана f(х) – непрерывная, не имеющая на нем знака аb y= f(x) х У Рассмотрим второй способ нахождения площади криволинейной трапеции Разобьём [а;b] на n частей, одинаковой длины х1х1 х3х3 х4х4 х2х2 х5х5 S тр = f(а)*Δx+ f(x 1 )*Δx+…+ f(х n-1 )*Δx= Δx*(f(а)+ f(x 1 )*Δx+…+ f(х n-1 )*Δx) = S n SnSn S тр = Предел Sn при n называется интегралом

Sтр == F(b) - F(а) Получили: а,b – пределы интегрирования ( а- верхний предел, в- нижний предел) - знак интеграла х – переменная интегрирования Если F – первообразная для f на [а;b], то Формула Ньютона - Лейбница