Алгебра и начала анализа, 11 класс Понятие бесконечной интегральной суммы. Интеграл. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск – формула Ньютона-Лейбница

H xkxk X k-1 Вычисление площади сечения реки. ΔхΔх SkSk g ( x k ) – глубина в точке x k Если разбить ширину реки H на n равных частей, то при n : S k = Δxg(x k ) x0x0 xnxn Последнее выражение в равенстве и есть бесконечная интегральная сумма.

Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x [0;H]. H x Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

H x x С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n ), то: Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е. где H – высота тела, а S сеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x [0;H]. S сеч. Примечание. – так сокращенно обозначают знак суммы.

x H x [0;H] 0 x Применяя понятие бесконечной интегральной суммы попробуйте самостоятельно объяснить данный пример и вывод окончательной формулы объёма прямоугольного параллелепипеда (для проверки ): V пр.пар. =(S 1 +S 2 +…+S n )Δ x = n S осн. = S осн. H Объем прямоугольного параллелепипеда равен бесконечной интегральной сумме площадей сечения (равных площади основания) на промежутке [0; H] (взятых вдоль высоты).

x y x y x y x y Понятие о криволинейной трапеции. а b y=f(x)y=f(x) а b а b а b y=f(x)y=f(x) y=f(x)y=f(x) y=f(x)y=f(x)

x1x1 x y a b 0 x2x2 x0=x0= x3x3 =xn=xn y=f(x)y=f(x) … ΔxΔx Вычисление площади криволинейной трапеции методом правых прямоугольников: S1S1 S2S2 S3S3 SnSn

x y a b 0 ΔxΔx Вычисление площади криволинейной трапеции методом левых прямоугольников: x1x1 x3x3 x2x2 y=f(x)y=f(x) x0=x0= =xn=xn … S1S1 S2S2 S3S3 SnSn

x y 0 ΔxΔx Ещё более точное приближение даёт метод трапеций: y=f(x)y=f(x) a x1x1 x3x3 x2x2 x0=x0= … b =xn=xn S1S1 S2S2 S3S3 SnSn

x y b 0 x2x2 x1x1 x3x3 =xn=xn … Чем больше значение n, тем меньше погрешность приближенного значения: y=f(x)y=f(x) a x0=x0=

x y b 0 =xn=xn При n Δ x 0 и каждый прямоугольник «вырождается» в отрезок, длина которого равна значению функции (или его модулю, если значения функции отрицательные). y=f(x)y=f(x) a x0=x0= Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна бесконечной интегральной сумме значений данной функции на промежутке [ a ; b ]. ΔxΔx

интеграл В приведенном выше примере мы находили площадь криволинейной трапеции с помощью понятия бесконечной интегральной суммы значений данной функции f ( x ) на отрезке [ a ; b ]. В математике принята более короткая запись этого понятия – интеграл ( ), т.е. Примечание. Обратите внимание, что знак интеграла напоминает стилизованную букву S, что естественно из геометрического смысла этого понятия. Читают: интеграл от a до b эф от икс дэ икс. нижним пределом интегрированияверхним пределом интегрированияподынтегральной функциейпеременной интегрирования Число a называют нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, f ( x ) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования. Если Вы владеете понятием предела ( lim ), то можно дать следующее определение интеграла:, где x n [ a ; b ].

x+Δxx+Δx x y 0 x y=f(x)y=f(x) Докажем теперь, что S ' ( x )= f ( x ). Заметим, что S( a )=0, S( b )=S. ΔSΔS ΔxΔx b a x+Δxx+Δx x Возьмём теперь прямоугольник такой же площади Δ S, опирающийся на отрезок [ x ; x +Δ x ]. c В силу непрерывности функции f верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой c [ x ; x +Δ x ]. Высота прямоугольника равна f ( c ). По формуле площади прямоугольника имеем: S( x ) При Δ x 0 с x и f ( c ) f( x ), т.е. или S ' ( x )= f ( x ). Выберем произвольный аргумент x [ a ; b ]. S( a ) S( b )

Важно!!! понимать, что значение интеграла может получиться отрицательным (если, например, на заданном промежутке значения функции отрицательны). Вы уже знакомы с понятием первообрáзной функции. Доказанное нами утверждение S ' ( x )= f ( x ) в силу основного свойства первообразных для всех x [ a ; b ] означает, что: S ( x )= F ( x )+ C, где С – некоторая постоянная, а F – одна из первообразных для функции f(x ). Для нахождения С подставим x = a : F ( a )+ C = S ( a )=0 F ( a )=– C. Следовательно, S ( x )= F ( x ) – F ( a ). Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S ( b )= S, подставляя x = b, получим: S = S ( b ) = F ( b ) – F ( a )=

Пример 1. Пример 2. Отметим некоторые свойства интеграла (объясните их с помощью учителя):, если f ( x ) – нечётная функция, если f ( x ) – чётная функция Применение этих свойств часто упрощает вычисление интегралов., где c [ a ; b ], где c

Пример 3. Найти значение интеграла:. Решение.