Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск. - презентация

1 Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

2 Немного теории. Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x [0;H]. H x Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

3 Немного теории. H x x С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n ), то: Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е. где H – высота тела, а S сеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x [0;H]. S сеч.

4 Немного теории (базовые классы могут пропустить). H x x Если принять число разбиений бесконечно большим числом (n ), то: где H – высота тела, а S сеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x [0;H]. S сеч.

5 I. Объем прямоугольного параллелепипеда с высотой H и площадью основания S. x H x [0;H] 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x

6 II. Объем прямой призмы с высотой H и площадью основания S. x x [0;H] H 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x

7 III. Объем n-угольной прямой призмы с высотой H и площадью основания S. x x [0;H] H 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x

8 IV. Объем наклонной призмы с высотой H и площадью основания S. Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x H x [0;H] 0 x

9 V. Объем треугольной пирамиды с высотой H и площадью основания S. H x x [0;H] x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных треугольников, т.е.: 0

10 VI. Объем n-угольной пирамиды с высотой H и площадью основания S. H x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных n-угольников, т.е.: x x [0;H] 0

11 VII. Объем усеченной пирамиды. текст

12 VIII. Объем цилиндра с высотой H и площадью основания S. x x [0;H] H 0 x Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.

13 IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S. x x [0;H] H x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных кругов, т.е.: 0

14 X. Объем усеченного конуса. текст

15 XI. Объем шара с радиусом R. Найдем объем полушария, как бесконечную интегральную сумму площадей сечения с радиусом r, где: R x Значит, объем всего шара равен: x 0 r

16 XII. Объем шарового сегмента. Вывод объема шарового сегмента с высотой h и радиусом основания r отличается от вывода объема полушария нижним пределом интегрирования. В данном случае он равен R – h : r R h x h r Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара ( R ), а не радиус основания сегмента ( r )!

17 XIII. Объем шарового слоя. текст

18 XIV. Объем шарового сектора. текст h r R