Энергия и мощность электромагнитного поля. Электромагнитные волны. Лекция 5

Энергия электромагнитного поля Электрическое и магнитное поля связаны непрерывным взаимным превращением и представляют собой различные проявления единого электромагнитного поля, которое находится в движении и несет с собой запас энергии:

Теорема Умова-Пойнтинга dL dV dS П Определим изменение энергии электромагнитного поля в объеме V Изменение энергии Из уравнений Максвелла найдем:

Из уравнения Максвелла найдем: dL dV dS П Подставим (2) в (1) и определим изменение энергии электромагнитного поля: Из векторного анализа известно: Теорема Умова-Пойнтинга

dL dV dS П Таким образом изменение энергии электромагнитного поля: ВЕКТОР ПОЙНТИНГА: Используем теорему Остроградского из векторного анализа Теорема Умова-Пойнтинга

Поток вектора Пойнтинга, входящий в замкнутую поверхность S, равен сумме двух мощностей: P тепл – мощность тепловых потерь внутри объема V, ограниченного поверхностью S. P тепл всегда >0 Теорема Умова-Пойнтинга

Поток вектора Пойнтинга, входящий в замкнутую поверхность S, равен сумме двух мощностей: P эм – изменение энергии электромагнитного поля в объеме V. Если P эм >0, то электромагнитная энергия внутри объема V увеличивается. Если P эм

Поток вектора Пойнтинга, входящий в замкнутую поверхность S, равен сумме двух мощностей: Теорема Умова-Пойнтинга Эта теорема – энергетический баланс: Мощность или энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока вектора Умова- Пойнтинга внутрь объема V равна энергии, расходуемой в единицу времени внутри этого объема

Знак «-» означает,что поток вектора Пойнтинга всегда положителен. Вектор dS направлен в сторону внешней нормали к поверхности S. Вектор П направлен внутрь объема. Тогда скалярное произведение (П dS)=П dS cos(a) отрицательно, так как угол a > 90 o Направление вектора Умова- Пойнтинга n P Pn dS S

Частные случаи теоремы Умова-Пойнтинга 1.Если поле неизменно во времени (Р эм =0) 2.Если внутри объема V имеется источник энергии Р ист, то Мощность источников равна сумме мощности электромагнитного поля, тепловых потерь и энергии, выходящей через граничную поверхность S

Электромагнитное поле в диэлектрике Рассмотрим переменное электромагнитное поле в неподвижной однородной и изотропной диэлектрической среде: Для диэлектрика будем считать, что проводимость = 0, поэтому 0 Из векторного анализа известно, что:

Электромагнитное поле в диэлектрике Рассмотрим переменное электромагнитное поле в неподвижной однородной и изотропной диэлектрической среде: Для диэлектрика будем считать, что проводимость = 0, поэтому 0 Из векторного анализа известно, что:

Примем следующее допущение - вектора Е и Н зависят только от координаты z, тогда: Электромагнитное поле в диэлектрике Тогда уравнения Максвелла примут вид:

Электромагнитное поле в диэлектрике Предположим, что поле вызвано источниками не содержащими постоянных токов и постоянных зарядов. Тогда вектора Е и Н не могут иметь составляющих не зависящих от времени: Тогда уравнения Максвелла упростятся:

После преобразований уравнения Максвелла имеют вид: Выберем направление осей OX и OY так, чтобы вектор Е совпадал с направлением ОХ, тогда Е у =0 Отсюда следует, что Н х = const = 0, т.е. вектор Н направлен по оси OY

Таким образом вектора Е и Н взаимно перпендикулярны

Таким образом система уравнений: преобразуется к виду: ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Волновое уравнение Это уравнение показывает, что электромагнитное поле может распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. Обозначим : - скорость распространения электромагнитной волны.

Волновое уравнение Это уравнение показывает, что электромагнитное поле может распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. Обозначим : - скорость распространения электромагнитной волны. В вакууме

Волновое уравнение Решение этого уравнения: 1-ое частное решение: Прямая волна

Волновое уравнение Решение этого уравнения: 2-ое частное решение: Обратная волна

Взаимосвязь векторов Е и Н Абсолютные значения напряженностей магнитного и электрического полей как в прямой, так и в обратной волне пропорциональны друг другу. Колебания электрического и магнитного полей в электромагнитной волне находятся в фазе, т.е вектора Е и Н одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль.

Аналогия с явлениями в однородной линии. Уравнения для расчета линии с распределенными параметрами: Уравнения для электромагнитных волн: Величину Е можно рассматривать как падение напряжения U на единице длины силовой линии

Аналогия с явлениями в однородной линии. Уравнения для расчета линии с распределенными параметрами: Уравнения для электромагнитных волн: Величину Н можно рассматривать как ток, отнесенный к единице длины силовой линии магнитного поля

Аналогия с явлениями в однородной линии. Уравнения для расчета линии с распределенными параметрами: Уравнения для электромагнитных волн: Отношение: волновое сопротивление среды

Аналогия с явлениями в однородной линии. Уравнения для расчета линии с распределенными параметрами: Уравнения для электромагнитных волн: Аналогично: волновое сопротивление линии

Волновое сопротивление среды Для вакуума:

Обобщенные электро- динамические потенциалы Непосредственное решение уравнений максвелла обычно связано с большими трудностями. Задачу можно упростить, если ввести вспомогательные функции пространственных координат и времени: Эти функции называют обобщенными электродинамическими потенциалами.

Будем считать: Обобщенный векторный потенциал Напряженность магнитного поля: Подставим Н во 2-е уравнение Максвелла или Можно преобразовать:

Из уравнения : Но, если rot равен 0, то вектор потенциальный. Тогда можно найти такую скалярную функцию, для которой он служит градиентом: называют обобщенным скалярным потенциалом

Связь векторов напряженности электромагнитного поля с обобщенными электродинамическими потенциалами:

Преобразуем 1-ое уравнение Максвелла, подставив выражение для векторного потенциала: Подставим выражение для скалярного потенциала в правую часть: С учетом, что преобразуем выражение

Так как ИЛИ ВЫБЕРЕМ div A ТАК, ЧТОБЫ УРАВНЕНИЕ УПРОСТИЛОСЬ: = 0 ТОГДА ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ОПРЕДЕЛИТЬСЯ ИЗ УРАВНЕНИЯ

ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ : Используя закон Ома в дифференциальной форме, запишем: В декартовой системе координат: Получим 3 уравнения Даламбера:

Используем совместно А) уравнение Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме: Б) уравнение для скалярного потенциала: Учитывая, что получим: Подставим, как и в 1-ом случае Уравнение Даламбера

ВВОДЯ ОБОБЩЕННЫЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ МОЖНО УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА СВЕСТИ К 4-М ОДНОТИПНЫМ УРАВНЕНИЯМ ДАЛАМБЕРА Это упрощает задачи расчета электромаг- нитных полей

Здесь - значение вектора тока проводимости в элементе объема dV в предшествующий момент времени РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДАЛАМБЕРА Если заряды распределены в некотором объеме V с объемной плотностью, то решение уравнений Даламбера можно записать в виде:

Электродинамические потенциалы – запаздывающие Полученный результат имеет важное значение. Он позволяет сделать вывод, что изменения свободных объемных зарядов и токов проводимости сказываются в различных точках поля не мгновенно, а спустя некоторое время R/v, необходимое для того, чтобы электромагнитная волна прошла расстояние R. Скорость распространения волны в диэлектрике:

Физический смысл векторного потенциала А Так как Таким образом имеет смысл э.д.с., индуктируемой переменным магнитным потоком, отнесенной к единице длины силовой линии вектора А

В областях поля, где нет объемных токов и зарядов, уравнения электродинамических потенциалов примут вид: Эти соотношения называют волновыми уравнениями