Модели со стохастическими регрессорами

Ранее мы предполагали, что COV(x i,u i )=0 На практике это не всегда справедливо. Причины: 1. В моделях временных рядов, регрессоры являются функциями времени, что приводит к их корреляции со случайными возмущениями 2. Регрессоры измеряются с ошибками т.е являются случайными величинами 3. Использование лаговых переменных

Модели со стохастическими регрессорами Возможны три ситуации: 1. В уравнениях модели отсутствует корреляция между регрессорами и случайным возмущением (COV(x i,u i )=0 (оценки несмещенные и эффективные) 2. Регрессоры не коррелируют со случайными возмущениями в текущих наблюдениях, но коррелируют со случайными возмущениями в предыдущих наблюдениях: COV(x i,u i )=0, CОV(x i,u i-1 )0 (Оценки смещенные на небольших выборках и состоятельные на выборках большого объема) 3. Регрессоры коррелируют со случайными возмущениями в текущих уравнениях наблюдений: СOV(x i,u i )0 (Оценки смещенные и несостоятельные)

Модели со стохастическими регрессорами Рассмотрим модель вида: Система уравнений наблюдений для модели (1.1) (1.1) (1.2) Лаговая переменная y t-1 коррелирует со случайным возмущением в предыдущих наблюдениях Модель (1.1) частный случай авторегрессионных моделей

Модели с распределенными лагами 2. Модели с конечным числом лагов (2.1) Решается методом замены переменных Вводятся новые переменные: z 0t =x t, z 1t =x t-1,…,z kt =x t-k В новых переменных получается обычное уравнение множественной регрессии Его оценка и анализ производится с помощью МНК

Модели с распределенными лагами 3. Модели с бесконечным числом лагов В общем случае они имеют вид: (3.1) Предпосылка: параметры b i при лаговых значениях регрессоров убывают в геометрической прогрессии: b k =b 0 λ k, k=0,1,…, 0

Модели с распределенными лагами Метод оценки модели (3.2) – метод переход к модели с конечным лагом: 1.Задают набор значений параметра λ, например, (0.1, 0.001, ) 2. Для каждого λ рассчитывается значение переменной Модель (3.1) принимает вид: (3.2) Значение максимального лага «р» подбирается из условия

3. Методом наименьших квадратов оценивается модель: Для каждого λ получают значения оценок a 0 и b o Из набора значений параметра λ выбирается то, при котором коэффициент детерминации R 2 имеет максимальное значение 4. Найденное значение λ и соответствующие ему значения параметров a 0 и b 0 используются в модели (3.2) Модели с распределенными лагами

Модели частичной корректировки В экономической практике часто приходится моделировать не фактические значения эндогенной переменной, а ее ожидаемое или целевое значение Например, ожидаемый доход от ценных бумаг, инвестиций, ожидаемый уровень дивидендов и т.п.) Пусть y t – фактическое значение эндогенной переменной y* t – ожидаемое значение эндогенной переменной x t – экзогенная переменная Необходимо построить модель: (4.1)

Особенность: отсутствие данных по переменной y* t Делается предположение, что фактическое приращение эндогенной переменной пропорционально разности между ее желаемым уровнем и реальным значением в прошлом периоде: (4.2) Выражение (4.2) можно переписать в виде: y t – средневзвешенное желаемого уровня эндогенной переменной и фактическим ее значением в предыдущем периоде (4.3) Модели частичной корректировки

Подставив (4.1) в (4.3) получим выражение: (4.4) Оценив параметры модели (4.4), получим оценки всех необходимых параметров: λ, а 0 и а 1 Однако модель (4.4) имеет стохастический регрессор y t-1, что приводит к «частичному» нарушению четвертой предпосылки теоремы Гаусса-Маркова Поэтому оценку модели (4.4) необходимо проводить по выборке большого объема. Модели частичной корректировки

Построение модели Лизера Год Доход Y t Сбере жения S t Год Доход Y t Сбере жения S t 19468,80, ,50, ,40, ,70, ,00, ,60, ,60, ,71, ,00, ,11, ,90, ,81, ,70, ,91, ,50, ,21, ,30, ,02, ,82,40 Модель корректировки уровня сбережений Лизера

Построение модели Лизера Спецификация модели где: S* t –ожидаемый уровень сбережений в текущем году Используется предположение: (4.5) (4.6) Подставляя (4.5) в (4.6) после преобразования получим (4.7)

Построение модели Лизера Вводя новые значения параметров: (4.8) спецификация (4.7) принимает вид: (4.9) Оценка спецификации (4.9) по имеющимся данным Возвращаемся к исходным параметрам согласно (4.8)

Модели адаптивных ожиданий Случай «противоположный» рассмотренному Например. Известно, что дивиденды от ценной бумаги 30% в год от ее стоимости. Но не известно, какова будет ее стоимость в следующем периоде времени Инвестор ориентируется на некоторое ожидаемое значение в будущем Спецификация модели имеет вид: (5.1) где: X* t-1 – ожидаемое значение регрессора в следующем периоде времени

Модели адаптивных ожиданий Т.к. X* t-1 величина не наблюдаемая, ее заменяют на ту переменную, которая поддается наблюдениям В данном случае – это текущее значение регрессора Предполагается, что ожидаемое значение регрессора есть взвешенное среднее между текущими реальным и ожидаемым значениям регрессора: Другими словами, предполагается: (5.2)

Модели адаптивных ожиданий Подставив (5.2) в (5.1) получаем спецификацию: (5.3) Далее записывается (5.13) для момента времени (t-1), умножается на(1-ρ) и вычитается из него (5.3) (5.4) Оценивается спецификация (5.4) и производится обратный переход к исходным параметрам модели