Задача 543 Угол между диагоналями разверстки боковой поверхности цилиндра равен φ, диагональ равна d. Найдите площади боковой и полной поверхностей цилиндра.

Построим цилиндр: О О1О1

S бок =2 π Rh, S полн =2 πR(h+R), AB=2πRh, R=AB/2π; h=AA 1. φ d d T A A1A1 B B1B1 d d

φ d d T A A1A1 B B1B1 d d Диагонали прямоугольника равны и в точке Т делятся пополам (по св.).

Рассмотрим АТА 1 : По теореме косинусов: АА 1 2 = (d/2) 2 + (d/2) 2 – 2d/2*d/2*cos φ = (d 2 /2)(1-cos φ) = (d 2 /2)*2sin 2 (φ/2) =d 2 sin 2 (φ/2); АА 1 = (d 2 sin 2 (φ/2)) = d*sin (φ/2), АА 1 = h. А1А1 А Т φ

Рассмотрим АТB: По теореме косинусов: AB 2 = (d/2) 2 + (d/2) 2 - 2*(d/2)*(d/2)*cos( φ) = (2d 2 )/4 + (2d 2 )/4*cos φ = (d 2 /2)(1+cos φ) = =d 2 /2*2cos 2 (φ/2)=d 2 *cos 2 (φ/2). AB T

AB= ( d 2 *cos 2 (φ/2) )=d*cos(φ/2), R=AB/2П=(d*cos (φ/2))/2П.

S бок =2П*(d*cos (φ/2)/2П)*d*sin(φ/2)= =d 2 *sin(φ/2)*cos(φ/2)=1/2*d 2 *2* *sin(φ/2)*cos(φ/2)=1/2*d 2 *sin(φ/2).

S оcн =ПR 2 =(П*d 2 *cos 2 (φ/2)/4П 2 )=d 2 /4П* *cos 2 (φ/2), S полн = S бок+ S оcн

S полн =1/2*d 2 *sin(φ)+2*(d 2 /4П)*cos 2 (φ/2)= =(d 2 /2)*sin(φ)+(d 2 /4П)* cos 2 (φ/2)= =(d 2 /2)*(sin(φ)+(1/П)*cos 2 (φ/2)).

Если за основание принять АА 1, а за высоты – АВ, то S бок не изменится.

S оcн =ПR 2 =(П*(d 2 /2)*sin 2 (φ/2))/4П 2 = =(d 2 *sin 2 (φ/2))/4П. S полн =1/2*d 2 * sin(φ)+2*(d 2 *sin 2 (φ/2)/4П)= =1/2*d 2 *sin(φ)+(d 2 /2П)*sin 2 (φ/2).

Ответ 1/2*d 2 *sin(φ)+(d 2 /2П)*sin 2 (φ/2)

Выполнили Франк Юлия Сизова Ольга Екимова Анастасия Бевз Татьяна