Интегральное исчисление Определенный интеграл

Определенный интеграл. Определение. Криволинейной трапецией называется фигура на плоскости, ограниченная сверху графиком функции, снизу отрезком, с боков вертикальными прямыми. o x y

Определенный интеграл Частные случаи криволинейной трапеции. х у 0х у 0х у 0

Определенный интеграл. Задача о площади криволинейной трапеции. x y o

Определенный интеграл. Определение. Выражение называется интегральной суммой. Рассматриваем всевозможные разбиения криволинейной трапеции на части такие, что Составляем интегральные суммы и переходим к пределу при

Определенный интеграл. Определение. Определенным интегралом от функции по отрезку называется предел интегральных сумм когда наибольший из участков разбиения стремится к нулю: Геометрический смысл.

Определенный интеграл. Когда существует предел? Когда предел не зависит от способа разбиений? Теорема.. Если непрерывна на, то она интегрируема (то есть существует предел интегральных сумм и он не зависит от способа разбиений )

Определенный интеграл. Свойства. 1. Линейность..

Определенный интеграл. Доказательство свойства (для суммы). 1. Возьмем разбиение на n частей: и выберем в каждой части точку: 2. Составим интегральную сумму: Рассматриваем всевозможные разбиения на части такие, что все уменьшаются, составляем интегральные суммы и переходим к пределу при

Определенный интеграл. 2. Перестановка пределов интегрирования. 3. Аддитивность. Пусть тогда

Определенный интеграл. 4. О знаке интеграла. Доказать свойства самостоятельно

Определенный интеграл. Теорема (об оценке). Геометрический смысл. m M Если,, то 0

Определенный интеграл. Доказательство Аналогично:

Определенный интеграл. Определение. Средним значением функции на называется число Теорема (о среднем).

Определенный интеграл. Геометрический смысл. 0 х у Если,, то

Определенный интеграл. Доказательство. 1. Из непрерывности где 2. Из теоремы об оценке 3. Из непрерывности

Определенный интеграл. Объем тела с известной площадью поперечных сечений. Доказать самостоятельно.

Определенный интеграл. Следствие: объем тела вращения.

Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Рассмотрим ( t – переменная). Теорема (Барроу). Если - непрерывная на то - дифференцируемая и

Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования Следствие. - первообразная для Доказательство теоремы Барроу. 1. Возьмем 2. Тогда где 4.

Связь определенного и неопределенного интегралов Формула Ньютона - Лейбница. Пусть - непрерывная на ; - первообразная для Тогда

Первое доказательство. 1. Возьмем разбиение : По теореме Лагранжа 4. Рассматриваем всевозможные разбиения на части такие, что все уменьшаются, составляем интегральные суммы и переходим к пределу при

Второе доказательство. Пусть - какая-либо первообразная для. Тогда - также первообразная для При х=a При х=b

Формула Ньютона-Лейбница. Примеры Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пример: