Лекция 12 РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА РЕШЕНИЯ

При различении сигналов имеет место многоальтернативная ситуация, когда полезный сигнал X может иметь много значений и приемное устройство должно определить, какое именно значение из этого множества имеет место в действительности. Различение многих сигналов в принципиальном отношении мало отличается. От случая обнаружения сигнала, т. е. случая различения двух сигналов. В соответствии с этим методы многоальтернативных решений являются обобщением соответствующих методов двухальтернативных решений.

Пусть сигнал X может иметь т возможных значений х 1,х 2,...,х т с априорными вероятностями р(х 1 ), р(х 2 ),…,p(х т ) соответственно

При этом пространство сигнала V разбивается на т. областей v 1,v 2,...,v m соответствующих принятию гипотез Н 1, Н 2,..., Н т о том, что X =х 1,X = х 2, …, X = х т соответственно. Правила принятия решений и разбивка пространства V на области v 1,v 2,...,v m могут производиться в соответствии с любым из кри­териев, рассмотренных для случая двухальтернативной ситуации и обобщенных на случай многоальтернативной ситуации.

Процедура работы решающего устройства приемника при разли­чении сигналов следующая. По данным выборки Y определяются функции правдоподобия L(х 1 )=f(Y/x 1 ), L(х 2 )=f(Y/x 2 ),...,L(x m ) = f(Y/x m ) и вычисляются отношения Для всех возможных сочетании пар x j и x i. Сравниваются полученные значения отношений правдоподобия с пороговым зна­ чением и выбирается такое значение сигнала х j для которого все (i= 1, 2,..., т).

Рассмотрим в качестве примера случай, когда используется критерий минимального риска. В случае многоальтернативной ситуации ошибки принятия решения заключается в том, что наблюдаемая выборка оказывается в области v k, в то время, как в действительности сигнал X имеет значение x j. Цена ошибочных решений учитывается путем введения весовых коэффициентов r jk. Для заданного значения сигнала x j средняя величина потерь за счет неправильных решений может быть оценена коэффициентом где условная вероятность попадания выборки Y в область v k, если в действительности сигнал X равен х j.

Величины r j носят название условного риска. Усредняя условный риск по всем возможным значениям X, получим средний риск Критерий минимального риска для случая многоальтернативной ситуации сводится к минимизации функции r = мин.

Рассуждая аналогично, можно показать, что реализация условия дает следующую систему т неравенств, обеспечивающих принятие гипотезы Н k, что X = х k

Cинтез структуры решающего устройства

Оптимальное решающее устройство должно строиться таким образом, чтобы оно могло вычислить функции правдоподобия L (X) и отношение правдоподобия с последующим сравнением его с некоторым пороговым значением. Следовательно, в первую очередь решающее устройство должно вычислять условные плотности вероятности f(Y/x i ). Очевидно, схема решающего устройства определяется в основном видом этой функции. Рассмотрим общий случай многоальтернативной ситуации, когда полезный сигнал X может принимать т значений.

Будем полагать помеху нормальной с нулевым математическим ожиданием и аддитивной. Следовательно, принимаемый сигнал у Для любого отсчетного значения принятого сигнала y i можно записать где отсчетные значения полезного сигнала; отсчетные значения помехи, распределенные по нормальному закону

Вектор помехи определяется многомерным законом распределения, где n объем выборки., где n объем выборки. Полагая помеху стационарной и отсчеты некоррелированными, можно многомерный закон распределения вектора помехи представить в виде

При взаимной независимости полезного сигнала и помехи функция определяется законом распределения помехи

Для принятия оптимального решения необходимо определить отношения правдоподобия

Общее Байесовськое выражение нахождения условной вероятности появления информационного сигнала т.е. соответствующей гипотезы H k при условии принятого информационного сигнала x k, примет вид, :

За информативный параметр принятого сигнала x k было спектральное представление, то расчет условной плотности вероятности распределения найдем по формуле:

Тогда, учитывая выше изложенную формулу получим общее Байесовськое выражение нахождения условной вероятности появления информационного сигнала