Def. f(z) называется дифференцируемой (или моногенной) в точке z 0 g, если при z 0 §4. Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической функции. Пусть f(z) C(g). ( z z-z 0 ) конечный предел Не зависит от способа стремления

Теорема 4.1 Если дифференцируема в точкето в точке условия Коши-Римана. Доказательство.

Пусть f(z) C(g), Теорема 4.2 Если в точке дифференцируемая в точке то Доказательство. и

Обозначим

Замечания.

2. Теорема 4.2 не обратная к теореме 4.1 Если f(z) дифференцируема в точке z 0, то она и непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно. Пример.

Основное определение. f(z) дифференцируемая в z g, f (z) C(g) называется аналитической функцией в g. Обозначение: Понятие аналитичности функции определяет глобальное поведение f(z) в области g. Теорема 4.3 Необходимым и достаточным условиями являютсяи условия Коши-Римана.

Доказательство. Необходимость. Из Т.4.1 => Достаточность. Из Т.4.2 т.к. Т.к.

Замечание. Далее будет показано, что из Основное замечание. Условие лишнее. Альтернативное определение. f(z) дифференцируемая в z g, называется «аналитической» функцией в g. Вместо Теорем 4.2 и 4.3 будут

Теорема 4.4 Еслии в точке дифференцируемая в точке то Теорема 4.5 Необходимым и достаточным условиями являютсяи «аналитичности» в g

Оказывается, что производная «аналитической» функции непрерывна в g, причем для n f (n) (z) C(g), т.е. класс «аналитических» функций не является расширением введенного нами класса, а полностью с ним совпадает.

Следствия условий Коши-Римана Обратно, пара гармонических в g функций u(x,y) и v(x,y), связанные условиями Коши- Римана, являются действительной и мнимой частью аналитической функции.

Свойства аналитических функций.

Тогда в Доказательство. Для необходимо, чтобы в

Но =(Коши-Риман)= Доказано обратной функции z= (w). Для этого достаточно, чтобы в Cоставим разностное отношение и непрерывность '(w 0 ) при условии

5. Пусть в односвязной области g плоскости (x,y) задана функция с точностью до аддитивной постоянной. Тогда определяется Доказательство. с точностью до аддитивной постоянной. можно определить по

Т.к. grad линии уровня => линии уровня u(x,y)=c и v(x,y)=c взаимно. можно восстановить

Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.

не зависит от выбора Геометрический смысл При отображении бесконечно малые линейные элементы коэффициент преобразования подобия. преобразуются подобным образом, причем Свойство постоянства растяжения.

Геометрический смысл Аргумент производной в точке определяет величину угла, на который нужно повернуть касательную к гладкой кривой, проходящей через точку z 0, чтобы получить касательную к образу этой кривой в точке w 0 =f(z 0 ).

Свойство сохранения углов. не зависит от выбора 1 => для 2 : z 0 2 : 2 = 2 + => = = = (сохраняется величина и направление углов).

Примеры простейших функций комплексной переменой. целое