Справочный материал Элементарные события (исходы) Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1. Р(А)сумме вероятностей Р(А) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию. хотя бы одному из событий А,В (объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В обоим событиям А и В. (пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В. А называется противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А. Несовместные события Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

2 Классическое определение вероятности Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями. Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт); выпадает двойка (событие). Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Пример: В мешке лежат три картофелины. Опыт – изъятие овоща из мешка. Достоверное событие – изъятие картофелины. Невозможное событие – изъятие кабачка.

3 Классическое определение вероятности Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки – равновозможные события. 2) В урне лежат три шара. Два белых и синий. Опыт – извлечение шара. События – извлекли синий шар и извлекли белый шар - неравновозможны. Появление белого шара имеет больше шансов..

4 Классическое определение вероятности Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны. 2) В результате двух выбрасываний выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз не исключает выпадение решки во второй

5 Классическое определение вероятности Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу. События образующие полную группу называют элементарными.

Вероятности противоположных событий: Формула сложения вероятностей: Формула сложения для несовместных событий: Формула умножения вероятностей: Условная вероятность В при условии, что А наступило Формула вероятности k успехов в серии из n испытаний Бернулли: р – вероятность успеха, q=1-p вероятность неудачи в одном испытании

Схема решения задач: 1.Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновероятны. 2.Найти общее число элементарных событий (N) 3.Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число N(A). 4.Найти вероятность события А по формуле

8 Задачи открытого банка

1. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых Опыт: выпадают три игральне кости. Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. К-во благоприятных событий m=? К-во всех событий группы n=? 1-я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов 3-я кость - 6 вариантов

Задача 2. Задача 2. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4. Решение: Случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Ответ:1/3 Всего граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Элементарные события: N=6N(A)=2

Реши самостоятельно! В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее чем 4. Ответ: 0,5 1, 2, 3, 4, 5, 6

Реши самостоятельно! В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет четное число. Ответ: 0,5 1, 2, 3, 4, 5, 6

Числа на выпавших сторонах Задача 3. Задача 3. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Множество элементарных исходов: Решение: N=36 A= {сумма равна 8} N(А)=5 Ответ:5/36

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз выпадет число 6. Ответ: 1/6 Числа на выпавших сторонах Всего вариантов 36 Комбинаций с первой «6» 61,62,63,64,65,66

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков. Ответ: 1/6 Числа на выпавших сторонах

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А={сумма очков равна 5} Ответ: 4 Числа на выпавших сторонах

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Какая сумма очков наиболее вероятна? Ответ: 7 Числа на выпавших сторонах

Задача 4. В Задача 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение: орел - Орешка - Р Возможные исходы события: 1 бросок 2 бросок О РО О О Р РР N=4 N(A)=2 Ответ:0,5 4 исхода

Решение: 1 бросо к 2 бросо к 3 бросо к ООО О О О Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р О О О О О О Множество элементарных исходов: N=8 A= {орел выпал ровно 2 } N(А)=3 Ответ: 0,375 8 исходов Задача 5. Задача 5. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза.

12 ОО ОР РО РР Реши самостоятельно! В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадет ОРЕЛ, во второй - РЕШКА) Ответ: 0,25

12 ОО ОР РО РР Реши самостоятельно! Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы один ОРЕЛ. Ответ: 0,25

Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что результаты двух первых бросков будут одинаковы? 123 ООО ООР ОРО ОРР РОО РОР РРО РРР Реши самостоятельно! Ответ: 0,5

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что результаты первого и последнего броска различны. 123 ООО ООР ОРО ОРР РОО РОР РРО РРР Реши самостоятельно! Ответ: 0,5

Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза. Реши самостоятельно! Ответ: 0, ОООО ОООР ООРО ООРР ОРОО ОРОР ОРРО ОРРР РООО РООР РОРО РОРР РРОО РРОР РРРО РРРР

Задача 6. Задача 6. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение: 1)Определите N 2)Определите N(A) Реши самостоятельно Проверка: N = 20 N(A)= 20 – 8 – 7 = 5 Ответ: 0,25 A= {первой будет спортсменка из Китая}

2 способ 2 способ: использование формулы сложения вероятностей несовместных событий R={первая из России} A={первая из США} C={Первая из Китая} P(R) + P(A) + P(C) = 1 P(C) = 1 - P(R) - P(A)

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 7 спортсменов из России, 6 из Китая, 3 из Кореи, 4 из Японии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из России. Реши самостоятельно! Ответ: 0,35

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 7 спортсменов из России, 6 из Китая, 3 из Кореи, 4 из Японии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из России. Реши самостоятельно! Ответ: 0,35

7. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу,14 подтекают.Найдите вероятность того,что один случайно выбранных для контроля насос не подтекает Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает. К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству исправных насосов m= =1386 Соответствует количеству всех насосов. n=1400

8. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной. К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству качественных сумок. m=190 Соответствует количеству всех сумок. n=190+8

Задача 9. Задача 9. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Решение: Всего спортсменов: N= = 25 A= {последний из Швеции} N=25 N(А)=9 Ответ: 0,36

Решение: N= 1000 A= {аккумулятор исправен} N(A)= 1000 – 6 = 994 Ответ: 0,994 Задача 10. Задача 10. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор окажется исправным.

Задача 11. Задача 11. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на 4 группы по 4 команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе. Решение: Множество элементарных событий: N=16 A={команда России во второй группе} С номером «2» четыре карточки: N(A)=4 Ответ: 0,25

Задача 12. Н Задача 12. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение:А={вопрос на тему «Вписанная окружность»} B={вопрос на тему «Параллелограмм»} События А и В несовместны, т.к. нет вопросов относящихся к двум темам одновременно С={вопрос по одной из этих тем} Р(С)=Р(А) + Р(В) Р(С)=0,2 + 0,15=0,35 Ответ: 0,35

А={кофе закончится в первом автомате} B={кофе закончится во втором автомате} Р(А)=Р(В)=0,3 По формуле сложения вероятностей: Ответ: 0,52 Решение: Задача 13. Задача 13. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Задача 14. Задача 14. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение:Вероятность попадания = 0,8 Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2 А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} По формуле умножения вероятностей Р(А)= 0,8 0,8 0,8 0,2 0,2 Р(А)= 0,512 0,04 = 0, ,02 Ответ: 0,02

Задача 15. Задача 15. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение: По формуле умножения вероятностей: А={хотя бы один автомат исправен} Ответ: 0,9975