Ассоциация учителей математики города Москвы

Круглый стол «Вопросы преподавания ТВиС в средней школе» 25 апреля 2013 г.

Разные подходы к решению вероятностных задач или ошибки, допускаемые учащимися. 25 апреля 2013 г.

Рассмотрим разные способы решения вероятностных задач

Задача 1. На полке стоит две банки с малиновым вареньем и три с вишневым. Какова вероятность того, что дедушка, не глядя, возьмет с полки 2 банки вишневого варенья? «Решения» (некоторые верные, некоторые нет.) 1 способ. а), ведь мы выбираем две банки из пяти. б), ведь мы выбираем две банки с вишней из трех вишневых. Неверное решение: это вообще не вероятность, а число возможных вариантов выбора. Кстати, оба числа больше 1.

2 способ. Р (ВВ) = (Верное решение) 3 способ. Мы учились перебирать варианты. Вот они: Начинаем с «М»Начинаем с «В» ММВВВ МВМВВ МВВМВ МВВВМ ВММВВ ВМВМВ ВМВВМ ВВММВ ВВМВМ ВВВММ Всего 10 вариантов. Будем считать, что дедушка взял первую и вторую банки. Тогда благоприятствующих событий три. Ответ: Р (ВВ) = 3/10 (Верное решение)

4 способ. Мы учились перебирать варианты, но может быть банки надо было различать. Вот так: Начинаем с «М 1 »Начинаем с «М 2 » М1М2В1В2В3М1М2В1В3В2…М1М2В1В2В3М1М2В1В3В2… М2М1В1В2В3…М2М1В1В2В3… 1) Всего сколько вариантов? (5! = 120). 2) Из них некоторые нам подходят. Сколько их будет? (3·2·3·2·1 = 36, т.к. первую выбираем тремя способами (вишня), вторую двумя (вишня, но одну уже взяли), третью тремя (одна вишня и две малины), четвертую двумя (осталось всего две банки), пятую – без вариантов одним способом (ту, что осталась)). Р (ВВ) = 36/120=0,3 (Верное решение, но слишком длинное)

5 способ. (самый короткий). Что можно принести: ММ, МВ, ВВ. Значит знаменатель = 3. Нам подходит только ВВ. Значит, Р (ВВ) = 1/3. (неверное решение) 6 способ. (почти такой же). Если различать левую и правую руки, то можно принести: ММ, МВ, ВМ, ВВ. Значит знаменатель = 4. Нам подходит только ВВ. Значит, Р (ВВ) = 1/4. (неверное решение) В чем ошибка? Записи ММ, МВ, ВМ, ВВ не являются равновозможными, т.к. N(ММ) = 1, N(МВ) = 3, N(ВМ) = 3, N(ВВ) = 3. Т.е. знаменатель = 10, а не 4, и числитель равен 3, а не 1.

7 способ. Пронумеруем банки 1,2,3,4,5. Пусть 1 и 2 – малина, 3,4,5 – вишня. Что можно принести? а) 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45 (без учета рук) б) или так: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54 (с учетом рук) Ответ: а) Р (ВВ) = 3/10, б) Р (ВВ) = 6/20 = 3/10. (оба решения верные)

8 способ. Последовательный выбор банок – это независимые события, по формуле Р(АВ)=Р(А) · Р(В) получим: а) Р (ВВ) = 3/5 · 3/5 = 9/25 (неверное решение) б) Р (ВВ) = 3/5 · 2/5 = 6/25 (неверное решение) в) Р (ВВ) = 3/5 · 2/4 = 3/10 (верное решение)

Задача 2. В мешке лежит 5 шаров: 2 красных и 3 белых. Найти вероятность события «среди трех наугад извлеченных шаров ровно два красных и один белый.» Решение 1.

Задача 2. В мешке лежит 5 шаров: 2 красных и 3 белых. Найти вероятность события «среди трех наугад извлеченных шаров ровно два красных и один белый.» Решение 2.

Задача 2. В мешке лежит 5 шаров: 2 красных и 3 белых. Найти вероятность события «среди трех наугад извлеченных шаров ровно два красных и один белый.» Решение 3. Перечислением. Всего = 10 вариантов. Благоприятствующих 3

Задача 2. В мешке лежит 5 шаров: 2 красных и 3 белых. Найти вероятность события «среди трех наугад извлеченных шаров ровно два красных и один белый.» Решение 4. 1) Переформулируем задачу. «Вынули два красных и один белый шар» означает, что «осталось два белых». 2)

Задача 2. В мешке лежит 5 шаров: 2 красных и 3 белых. Найти вероятность события «среди трех наугад извлеченных шаров ровно два красных и один белый.» Решение 5 (неверное). 1) Общее число событий. Это знаменатель. 2) Найдем числитель. Выпишем все возможные варианты. ККБ, КБК, БКК. Их три. 3)

Задача 2. В мешке лежит 5 шаров: 2 красных и 3 белых. Найти вероятность события «среди трех наугад извлеченных шаров ровно два красных и один белый.» Решение 6 (верное). 1) Общее число событий. Это знаменатель. 2) Найдем числитель: красные выбираем «два из двух», белые - «один из трех». Поэтому общее число событий: 3)

Задача 3. В мешке лежит 5 шаров: 2 красных и 3 белых. Найти вероятность события «среди четырех наугад извлеченных шаров ровно два красных и два белых.» Попробуем решить ее также, как решение 5: Решение 1 (неверное). 1) Общее число событий. Это знаменатель. 2) Найдем числитель. Выпишем все возможные варианты. Их шесть. 3) ККББ КБКБ КББК ББКК БКБК БККБ

Задача 3. Как решение 6: В мешке лежит 5 шаров: 2 красных и 3 белых. Найти вероятность события «среди четырех наугад извлеченных шаров ровно два красных и два белых.» Решение 2 (правильное). 1) Общее число событий. Это знаменатель. 2) Найдем числитель: красные выбираем «два из двух», белые - «два из трех». Поэтому общее число событий: 3)

Задача 3. В мешке лежит 5 шаров: 2 красных и 3 белых. Найти вероятность события «среди четырех наугад извлеченных шаров ровно два красных и два белых.» Решение 3 (правильное). 1)Переформулируем задачу. «Вынули два красных и два белый шара» означает, что «остался один белый». 2)

Задача 3. В мешке лежит 5 шаров: 2 красных и 3 белых. Найти вероятность события «среди четырех наугад извлеченных шаров ровно два красных и два белых.» Решение 4 (правильное).

Задача 3. В мешке лежит 5 шаров: 2 красных и 3 белых. Найти вероятность события «среди четырех наугад извлеченных шаров ровно два красных и два белых.» Решение 5. Перебор: К1 К2 Б1 Б2 К1 К2 Б1 Б3 К1 К2 Б2 Б3 К1 Б1 Б2 Б3 К2 Б1 Б2 Б3 Всего: 5 элементарных событий Благоприятствующих 3 события Р = 3/5

Букет различных решений… Фонтан изобретательности… Верные и неверные идеи… Вот чем наполнены уроки, на которых решаются вероятностные задачи!

Высшее назначение математики… состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает. Винер Н.

Спасибо за внимание! ГБОУ СОШ 1032 ВАО Г. Москва