Способы вычисления числа Маленькое да удаленькое Цель: рассмотреть различные способы вычисления числа П

Число ПИ - повсюду, оно контролирует все известные нам процессы, оставаясь при этом неизменным! Кто же контролирует само число ПИ? Ответа пока нет." Доктор Чарльз Кэнтор

Число П (пи) - это отношение длины окружности к ее диаметру, оно выражается бесконечной десятичной дробью. В обиходе нам достаточно знать три знака (3,14). Однако в некоторых расчетах нужна большая точность. У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле. Впоследствии сюда добавилась электротехника - там есть понятие "круговой частоты переменного тока". Для запоминания числа "Пи" было придумано двустишие (к сожалению, мы не знаем автора и места первой публикации его; но еще в конце 40-х годов двадцатого века московские школьники занимались по учебнику геометрии Киселева, где оно приводилось). Двустишие написано по правилам старой русской орфографии, по которой после согласной в конце слова обязательно ставился "мягкий" или "твердый" знак. Вот оно, это замечательное историческое двустишие: Кто и шутя, и скоро пожелаетъ "Пи" узнать число - ужъ знаетъ. Тому, кто собирается в будущем заниматься точными расчетами, имеет смысл это запомнить. Так чему же равно число "Пи" с точностью до одиннадцати знаков?

Способы вычисления Имеется много разных методов вычисления числа, известных как с древних времен, так и появившихся совсем недавно. Эти методы используют разнообразные изящные идеи - геометрические (вписывание и описывание многоугольников вокруг окружности), теоретико-числовые (теория цепных дробей дает приближение с точностью до одной миллионной, если ограничиваться дробями с трехзначными числителем и знаменателем), аналитические (с помощью рядов, интегралов и бесконечных произведений), компьютерные, и их многочисленные комбинации. Кроме этих - математических - методов, с давних пор известны экспериментальные способы определения числа. Рассмотрим некоторые из них.

1.Возьмем чашку, рюмку и блюдце. Все они имеют различного размера диаметр. 2. С помощью нити измерим их диаметры d. Определим его значение по линейке. I.Простейшее измерение с помощью нити А

3. Обмотаем вокруг каждого предмета нить, как можно ближе приближая её к краю. Тем самым мы измерим длину окружности C каждого предмета. 4.Разделим С на длину диаметра окружности. 5.Получившееся частное будет приближенным значением числа, т.е. =С/2R..

Вывод 1.Данный способ довольно таки грубый и дает в обычных условия приближенное значение числа с точностью до Чем ближе к краю предмета мы измеряли длину, тем точнее были наши вычисления. 3.Получившееся число находится в пределах от 3 до 3,3

1.Вырежем из картонной бумаги квадрат и круг такие, что круг был бы вписанным в данный квадрат. (в случае А и Б будем брать фигуры различных размеров) II. Измерение с помощью взвешивания 2. Определим массу картонного квадрата и круга с помощью школьных весов. АБ АБ

Зная массы квадрата (m кв. ) и вписанного в него круга ( m кр ), воспользуемся формулами m= V, V=Sh, где и h-соответственно плотность и толщина картона, S-площадь фигуры. Рассмотрим равенства: m кв. = S кв h= 4R 2 h; m кр = S кр h= R 2 h. Отсюда m кр :m кв = :4, =4m кр :m кв. m кр m кв П А3,56 г4,55 г3, Б0,85 г1,1 г3, П А = 4 * 3,56 : 4,55 = 3, П Б = 4 * 0,85 : 1,1 = 3,090909

Выводы 1.В данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближенные числа с точностью до 0,1 2.Данный метод подтверждает тот факт, что число П – постоянная величина.

Измерения с помощью вписанных в окружность многоугольников 1.Рассмотрим последовательность вписанных в некоторую окружность правильных многоугольников с возрастающим числом сторон. 2.Будем последовательно, начиная с n = 6, находить отношение периметра многоугольника к двум радиусам для n = 12, Кроме того, построим еще одну последовательность этих же величин, соответствующую значениям n = 4, 8, 16… Результаты этих вычислений оформим в виде таблицы. 3. Измерения и построения проводим с помощью циркуля и линейки, вычисления – с помощью калькулятора. 4.Можно заметить, что по мере возрастания числа сторон эти многоугольники все более и более приближаются к кругу, их граница прижимается к окружности. Для достаточно больших n граница правильного n-угольника практически неотличима от окружности, а его периметр можно считать приблизительно равным длине окружности. Так или примерно так размышляли геометры древности, приступая к решению задачи о нахождении длины окружности. При этом они понимали, что нет необходимости последовательно находить периметры всех правильных n-угольников: трех-, четырех-, пяти-,..., n-угольников. Желательно как можно быстрее "добраться" до многоугольников с большим числом сторон.

nanPn П 44162, ,816,83 82,1517,23, ,4517,43, ,117,63, ,73317,5923, n- количество сторон многоугольника а n- сторона многоугольника Рn – периметр многоугольника П = Р/ 2R R = 2,8 Алгоритмы построения правильных многоугольников, вписанных в окружность через программу Paint

Выводы 1.Мы видим, что с ростом числа сторон, мы получаем все более точное значение П, то есть по мере возрастания числа сторон многоугольники все более и более приближаются к кругу, их граница прижимается к окружности или иными словами стремится к ее длине. 2.Отношение длины окружности к ее двум радиусам (т.е. диаметру) есть одно и тоже число для всех окружностей

III. Метод Монте - Карло 1. Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел. 2. Теоретическая основа метода была известна давно. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную - очень трудоемкая работа. Одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить и при помощи… дождя или снега. 3. Для опыта нужно приготовить кусок картона, нарисовать на нем квадрат и вписать в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем то на его поверхности останутся следы капель. Затем необходимо подсчитать число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр - число капель в круге,Nкв –число капель в квадрате Значит, 4Nкр/Nкв А

1. Нарисуем на листе картона квадрат и впишем в квадрат круг. 2. С помощью обыкновенного сита создадим искусственный дождь из песка 3. Поскольку подсчитать количество упавших песчинок невозможно, мы примем за количество песчинок- их массу. Итак, взвесим песчинки, упавшие внутрь круга, с помощью школьных весов. 4. Оставшиеся песчинки на квадрате добавим на весы, и мы получим массу песчинок, упавших внутрь квадрата. 5. 4Nкр/Nкв Nкр = 9,2 г Nкв = 11,8 г 4 * 9,2 : 11,8 3, … В своем эксперименте мы дождь заменим песком. Б

В. Дождь и песок можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например подряд.

Выводы 1.Метод Монте-Карло доказывает, что число используется не только в геометрии, но и в теории вероятности 2.Большее увеличение количества песчинок, попавших в круг и квадрат, обеспечат приближенные числа с точностью до 0,01 3.Компьютерная модель способа Монте-Карло показывает возможность определения числа П с очень большой точностью. 4.С помощью этого метода рассчитываются ядерные реакторы, он широко используется в геофизике, экономике, биологии, экологии и т.д., словом, для решения тех задач, где аналитические или численные методы решения не работают из-за высокой степени сложности.

IV. Метод «падающей иголки» или «метод иглы Бюффона» 1.Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. 2.На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки в два раза (так, чтобы игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну при каждом бросании).Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. 3. Введем обозначения: h – расстояние между прямыми, l – длина иглы. h = 6 см, l = 3 см 4. Будем произвольным образом подбрасывать иглу над поверхностью, сообщая ей каждый раз небольшое вращение так, чтобы игла свободно падала с высоты около 50 см. 5. После каждого броска будем отмечать пересекла или не пересекла игла одну из параллельных прямых. Приближенное значение П можно найти с помощью обыкновенной швейной иголки и теории вероятности. Этот опыт впервые описал в своих исследованиях французский естествоиспытатель Ж.Л. Бюффон.

Подсчитаем частоту пересечений p = m/n где m- число бросаний, в которых игла пересекла прямую n – общее число бросаний. Формула для нахождения экспериментального значения П из задачи Б юффона:задачи Б юффона: p = ( 2/ П ) * (l /h) 2 l n/ mh Будем увеличивать число бросаний, проведя несколько серий. Данные представлены в таблице. серии nm П , , , , , , ,125

Выводы 1.Метод иглы Бюффона существенным образом базируется на методах теории вероятностей. 2. Чем больше провести серий, тем частота пересечений будет одно и тоже число. ( это свойство «устойчивости» частоты характерно для всех экспериментов в теории вероятности. Вероятность – это и есть значение, около которого колеблется частота.) 3.Точность приближения в формуле будет тем выше, чем больше число бросаний. 4.Опыт показывает, что получить число 3,1 довольно просто, но получить знак -4- значительно труднее. Нужно сделать очень много испытаний, чтобы получить более или менее приличную точность приближения полученной дроби к П.

Общие выводы 1.Разнообразие описанных способов позволяет обращаться к различным разделам математики, использовать знания и умения, полученные на уроках физики и информатики, что очень полезно для общего развития школьников. 2.Данные методы очень увлекательные задачи, вызывающие огромный интерес к предмету математика. 3.Число П входит во многие математические, физические и технические формулы, в том числе и не имеющие непосредственного отношения к площади круга или длине окружности.

Группа «Расчетчики» Состав группы: 1. Платовская Валерия 2. Батуева Валентина 3. Асаевич Юлия 4. Хайретдинова Регина 5. Антонова Анастасия 6. Данюк Елена