Моделирование при обучении решению текстовых задач и при изучении элементов теории вероятности Мастер – класс 2009г. Подготовила учитель математики МОУ СОШ с. Голиково Присекина Ирина Михайловна

Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования В. И. Арнольд.

Как отмечает Л. Ш. Левенберг, рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в сознательном выяснении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают детей активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задачи, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умениями применять их. Л. М. Фридман объяснил смысл моделирования следующим образом: используемый в науке метод моделирования заключается в том, что для исследования или строят другой объект, в каком –то отношении подобный исследуемому; построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект. величинами, но и побуждают детей активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задачи, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умениями применять их. Л. М. Фридман объяснил смысл моделирования следующим образом: используемый в науке метод моделирования заключается в том, что для исследо

Длина Волги 3530 км. Днепр на 1330 км короче Волги, а Урал длиннее Днепра на 228 км. Какова длина реки Урал? На сколько километров Волга длиннее Урала? Анализируя условие этой задачи, его кратко записывают примерно в таком виде. Длина Волги – 3530 км Длина Днепра – на 1330 км меньше, чем длина Волги. Длина Урала – на 228 км больше, чем длина Днепра.

3530 км На 1330 км меньше На 228 км больше Длина Волги Длина Днепра Длина Урала 3530 км

Собственная скорость катера ( скорость в стоячей воде ) 21,6 км/ч,а скорость по течению 4,7 км/ч.Найти скорость катера по течению и скорость катера против течения. Собственная скорость Скорость течения реки Скорость катера по течению Скорость катера против течения 21,6 км/ч 4,7 км,/ч 21,6 км/ч 4,7 км/ч 21,6 км/ч

В трёх кусках 248 м верёвки. Если от первого куска отрезать 42 м, а от второго- 51 м, а от третьего – 32 м, во всех кусках веревки станет поровну. Сколько метров веревки было в первом куске первоначально? Как можно смоделировать данную задачу?. В процессе её разбора получаем схематический чертёж Первый кусок Второй к Второй кусок Третий кусок 42 м 51 м 32 м 248 м 248 м

Такая модель помогает уяснить одно из важных условий задачи, которое вызвало наибольшее затруднение в решении, а именно: после того, как от каждого куска отрезали часть верёвки, в каждом из них верёвки осталось поровну. Графическая модель задачи позволяет предупредить ошибки в решении. Она также создает предпосылки для активной мыслительной деятельности в поисках разных способов решения одной и той же задачи. Такой поиск способствует развитию у учеников вариативности мышления.

1 способ = 93 (м); =125 (м); 248 – 125 = 123 (м); 123 : 3 = 41 (м); = 83 (м). 2 способ = 74 (м); = 125 (м); 248 – 125 = 123 (м); 123 : 3 =41 (м); = 83 (м). 3 способ 1) = 83 (м); 2) =125 (м); 3) 248 – 125 =123 (м); 4) 123 :3 =41 (м); 5) =83 (м). Что же служит теоретической основой разных способов решения этой задачи? Чтобы узнать, сколько метров верёвки осталось во всех трёх кусках, нужно от числа, выражающего исходное количество верёвки, отнять число,выражающее количество верёвки, которое отрезали от трёх кусков. Чтобы узнать, сколько всего верёвки отрезали, надо сложить три числа, т. е. найти сумму А это можно сделать по – разному, преобразовывая данное выражение в тождественно равное на основе свойств арифметических действий:

Эти преобразования и определили три способа решения задачи, которое легко найти, используя модель. Обозначим буквой х длину всей верёвки, буквами в, с, е – количество верёвки, отрезанного от первого, второго, третьего кусков соответственно, а буквой у – остаток верёвки в трёх кусках, тогда получим: у = х –( в + с + е ). Найти значение последнего выражения можно 15 способами, используя известные арифметические свойства. 1) х – ( в + с + е ); 2) х - (в + ( с + е ); 3) х – (с + (в + е ); 4) х – в – с – е; 5) х – с – в – е; 6) х – с – е – в; 7) х – е – в – с; 8) х – е – с – в; 9) х – ( в + с ) – е; 10)х – ( в + е ) – с; 11)х – ( е + с ) – в; 12)х – е – ( в + с); 13)х – в – ( е + с ); 14)х – с – ( в + е ); 15)х – в – с – е ; А это означает, что задача имеет 15 способов решения. Во всех случаях сначала определили, сколько всего верёвки осталось после того, как от каждого куска отрезали определённое число метров. Существует и другие способы решения данной задачи. Их поможет найти другая графическая модель. В этих вариантах решения сначала надо определить, сколько верёвки было бы во всех трёх кусках первоначально, если бы в каждом из них верёвки было столько, сколько во втором куске. ( ) + 32 = ( ) + 51 = ( ) + 42.

1 кусок 42 м 2 кусок 51 м 3 кусок 32 м 16 способ 1)51 – 42 = 9 (м); 2)51 – 32 = 19 (м); 3) = 28 (м); 4) = 276 (м); 5) 276 : 3 = 92 (м); 6) 92 – 51 =41 (м); 7) =83 (м); 17 способ 1) 51 – 42 = 9 (м); 2) 51 – 32 = 19 (м); 3) =257 (м); 4) = 276 (м); 5) 276 : 3 = 92 (м); 6) 92 – 51 = 41 (м); 7) = 83 (м). 18 способ 1) 51 – 42 =9 (м); 2) 51 – 32 = 19 (м); 3) = 267 (м); 4) = 276 (м); 5) 276 : 3 = 92 (м); 6) 92 – 51 =41 (м); 7) = 83 (м). 248 м 2 Первый кусок Второй кусок Третий кусок 42 м 51 м 32 м 228 м

19 способ 1) 51 – 32 = 19 (м); 2) 51 – 42 = 9 (м); 3) = 28 (м); 4) = 276 (м); 5) 276 : 3 = 92 (м); 6) 92 – 51 = 41 (м); 7) = 83 (м). 20 способ 1) 51 – 32 = 19 (м); 2) 51 – 42 =9 (м); 3) =257 (м); 4) =276 (м); 5) 276 :3 =92 (м); 6) 92 – 51 =41 (м); 7) =83 (м). 21 способ 1 )51 – 32 =19 (м); 2) 51 – 41 = 9 (м); 3) =267(м); 4) = 276 (м); 5) 276 : 3 = 92 (м); 6) 92 – 51 = 41 (м); 7) = 83 (м). Таким образом, получили 21 способ решения задачи.

Построили 5 одинаковых 15 этажных дома. На каждом этаже по 18 квартир. В 5 домах 300 однокомнатных квартир, 450 двухкомнатных. Сколько в одном доме трёхкомнатных квартир? 18 15э 15э 15 э Эт Эт Эт Эт Эт 18 Кв Кв Кв Кв Кв

300 однокомнатных квартир 450 двухкомнатных квартир ? ? трехкомнатных квартир Однокомнатных 300 квартир Двухкомнатных 450 квартир Трехкомнатных квартир ?

Рабочие отремонтировали дорогу длиной 820 м за три дня. Во вторник они отремонтировали 2/5 этой дороги, а в среду 2/3 оставшейся части. Сколько метров отремонтировали рабочие в четверг? Во вторник В среду В четверг 2/5 2/3 остатка 820 метров Осталось ?

В первый день тракторная бригада вспахала 3/8 участка, во второй день – 2/5 остатка, а в третий день – остальные 216 га.Определите площадь участка. В первый день 3/8 Во второй день 2/5 остатка В третий день 216 га

Правила квадрата Пусть требуется получить смесь с процентов из раствора А и В концентрации а и в процентов соответственно. Возьмем квадрат и запишем в его левых углах числа а и в, а в центре – число с.Затем по диагоналям от больших чисел отнимают меньшие и разности записывают в правых углах квадрата. Эти числа показывают, что растворы А и В следует смешивать в отношении (в с) : (с а). а в в с с а Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30%, а во втором – 50% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 35% золота? с Решение. ( ) : ( ) = 15 : 5 = 3 : 1 Ответ: 3 : 1.

Математическое моделирование при изучении элементов теории вероятности

Задача 2. Два человека садятся в электричку, в которой 10 вагонов. С какой вероятностью они окажутся в одном вагоне? Уровень 0. Здесь неумелое « моделирование « приведёт к следующему: всего 10 вагонов, т.е. n = 10, а m = 2, так как садятся в электричку 2 человека, значит, Р (А) = 2/10. И снова в решении ни слова об опыте. Более того, в данном решении вероятность измеряется в «человековагонах», а должна быть безразмерной величиной. Да и ответ на этот раз, к счастью, неверный. Уровень 1. Правильное решение мы можем получить, если проанализируем сам случайный опыт. Он заключается в том, что 2 человека случайным образом независимо друг от друга выбирает себе по вагону. Тогда элементарный исход опыта - это упорядоченная пара номеров (от 1до 10) выбранных вагонов, причём в паре могут быть 2 одинаковых номера. В комбинаторике такие комбинации называются размещение с повторением. Всего элементарных исходов у этого опыта, по правилу произведения, n= = 100. Когда в паре 2 одинаковых номера, происходит благоприятный исход, т. е. m = 10. Получаем вероятность Р(А) = 10/100 = 1/10.

Уровень 2. Заменим рассмотренный опыт другим. Предположим, один из этих двух человек уже выбрал себе какой – то вагон. Теперь вагон выбирает второйчеловек. Если его выбор совпадает с выбором первого, то они будут ехать в одном вагоне. Тогда элементарный исход – это выбранный вторым человеком номер вагона, т. е. n = 10. При этом только в одном из этих 10 исходов возможно совпадение с номером, который выбрал 1, т. е. m = 1. Таким образом, получаем Р(А) = 1/10. Возвращаясь к описанным выше примерам, отметим, что основная задача учителя при решении такого рода задач – помочь учащимся перейти при построении вероятностных моделей с нулевого уровня на первый. Но при этом нельзя забывать и о существовании второго уровня: хотя бы для того, чтобы не перепутать его с нулевым и вовремя рассмотреть в нестандартных рассуждениях своих учеников не только правильный, но и более рациональный путь решения задачи. Покажу как составлять математическую модель при решении задач по теории вероятностей.

В урне с шарами находится 2 зелёных, 3 красных и 2 белых шара. Наудачу из урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что извлечённый шар окажется красным? 1. Построение математической модели. Опыт состоит в извлечении шара. Пусть событие A={извлечённый шар красного цвета}. Предположим, что на шарах помимо их цвета проставлены номера (1, 2 – на зелёных, 1, 2, 3 – на красных и 1, 2 – на белых) Запишем все элементарные события, которые могут осуществиться в опыте. 1={извлнный шар зелёного цвета (1)}; ={извлечённый шар зелёного цвета (2)}; ={извлечённый шар красного цвета (1)}; ={извлечённый шар красного цвета (2)}; ={извлечённый шар красного цвета (3)}; ={извлечённый шар белого цвета (1)}; ={извлечённый шар белого цвета (2)}. Тогда ={извлечённый шар белого цвета (2)}.. Как видно всего в опыте 7 равновозможных исходов, т.е., сл.,. По аксиоме номер 3 следует вычислить. 2. Получение математических результатов. или. ={извлечённый шар белого цвета (2)}. Тогда. По аксиоме номер 3 следует вычислить ={извлечённый шар красного цвета (2)}; л л или ={извлечённый шар белого цвета (2)}.

Рассмотренные выше задачи показывают, что изучение элементов теории вероятностей идёт на пользу и самой математике, расширяя и делая доступным ученику новый круг математических идей и методов. Предлагаю учителям чаще использовать моделирование в работе над текстовой задачей и задачи по теории вероятности