Основные понятия теории вероятностей Лекция 12

План лекции Случайные события и их классификация. Алгебра событий. Классическое и статистическое определение вероятности. Основные теоремы теории вероятностей.

Понятие события Событие: всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти Классификация событий: достоверные невозможные вероятные равновозможные события несовместные события и полная группа несовместных событий независимые события противоположное событие

Модельные объекты в теории вероятностей: - монета (два равновозможных события) - игральная кость (шесть равновозможных событий - игральные карты (36 или 52 равновозможных событий) - шары разного цвета в урне (число равновозможных событий зависит от числа шаров разного цвета и общего числа шаров) Полная группа несовместных событий: - орел и решка у монеты - цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 у игральной кости

Комбинаторное определение вероятности Вероятность = отношению числа благоприятных событий к общему числу равновозможных событий n – общее число равновозможных событий m – число благоприятных событий Вероятность Область значений Р: Достоверное событие Р = 1Невозможное событие Р = 0

Задачи Задача 1: в урне находится 2 белых и 3 красных шара. Из урны наугад вытаскивается один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет белым? Задача 2: подбрасывается монета. Какова вероятность выпадения орла? Вероятность выпадения решки? Задача 3: монета подбрасывается дважды. Какова вероятность выпадения двух орлов? Задача 4. Одновременно кидаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков составит 3? Задача 5. Монета бросается 125 раз. Каковая вероятность, что она упадет орлом 16 раз?

Операции с событиями Сумма событий А и В: событие С, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий А и В. С = А + В Произведение событий А и В: событие С, которое состоит в совместном появлении событий А и В. С = АВ Задача 6: Бросается кость. Записать событие, состоящее в том, что выпало четное число очков Задача 7: в одной урне 2 белых и 1 черный шар; в другой урне: 1 белый и 1 черный шар. Записать событие, которое состоит в том, что из урн выбраны 2 белых шара

Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы несовместных событий А и В Вероятность суммы несовместных m событий: Вероятность полной группы несовместных событий: Сумма вероятностей противоположных событий

Частотное определение вероятности Вероятность - отношение числа m благоприятных событий к общему числу n опытов при большом числе опытов Во многих важных случаях невозможно определить общее число равновозможных опытов

Чтобы рассчитать статистическую вероятность необходимо после проведения испытаний подсчитать: общее число всех проведенных испытаний (n) число испытаний, в которых появилось событие А (m) рассчитать относительную частоту W(A) Пример: При обследовании 250 студентов у 25 человек был обнаружен бронхит. Какова вероятность заболевания у студентов? Решение: 1.общее число всех проведенных испытаний=250 2.число испытаний, в которых появилось событие А=25 Относительная частота:

Комбинаторика Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число возможных перестановок рассчитывается по формуле: P n = n!, n!= 123…n, причем 0!=1, 1!=1 Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов в каждом, которые отличаются либо элементами, либо их порядком. Число возможных размещений

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов в каждом, которые отличаются хотя бы одним элементом Пример: Приема у врача ожидают 3 мужчин и 5 женщин. Врач вызывает двоих. Какова вероятность того, что зайдут один мужчина и одна женщина? Решение: 1) Число общих исходов (способы, которые позволяют вызвать 1 мужчину и 1 женщину из 8 человек) 2) Число благоприятных исходов для мужчин -, для женщин Вероятность

Свойства вероятности: Вероятность достоверного события Р=1 Вероятность невозможного события Р=0 Вероятность случайного события 0

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.