Непрерывные случайные величины Лекция 15. План лекции Непрерывные случайные величины. Закон распределения. Функции распределения и плотности распределения.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Дискретные случайные величины Лекция 14. План лекции Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения.
Advertisements

Числовые характеристики случайных величин Лекция 16.
Функции и их производные Лекция 7. План лекции Определение функции. Основные элементарные функции и их графики. Предел функции. Понятие производной функции.
Нормальный закон распределения Лекция 18. План лекции Нормальный закон распределения. Свойства нормального закона распределения Функции нормального закона.
Биномиальное распределение Лекция 17. План лекции 1.Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. 2.Вероятность редких событий. Формула Пуассона.
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 15. Тема: Случайные величины и их числовые характеристики.
23 сентября 2012 г.23 сентября 2012 г.23 сентября 2012 г.23 сентября 2012 г. Лекция 9. Непрерывные распределения 9-1. Функция распределения 9-2. Плотность.
Лекция 1 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности Педиатрия К.п.н., доцент Шилина Н.Г. Красноярск, 2012 Тема: Интегральное исчисление.
Законы распределения случайных величин. Опр. Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь.
Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Лекция 9.
Дифференциал функции Лекция 8. План лекции Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Частные производные. Полный дифференциал. Применение.
Теория вероятностей и математическая статистика Занятие 4. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения.
Случайные погрешности Случайные погрешности неопределенны по своему значению и знаку и поэтому не могут быть исключены из результатов измерений, как систематические.
Случайные величины: законы распределения. Что было: понятие о случайной величине СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ называется величина, которая в результате испытания.
Основы корреляционного анализа Лекция 21. лекция 12 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности – Клиническая психология д.б.н., профессор.
Лекция 3 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности – Лечебное дело К.п.н., доцент Шилина Н.Г. Красноярск, 2014 Тема: Основы математической.
Теория вероятностей и математическая статистика Занятие 5. Основные числовые характеристики случайных величин Преподаватель – доцент кафедры ВМ, к.ф.-м.н.,
Найдем вероятность попадания в интервал (x, x + x): P(x X x + x)=F(x + x) - F(x) F(x). § 6. Непрерывная случайная величина. Функция плотности. Пусть X.
Список литературы 1. Гнеденко б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Физматгиз, Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. 2-е изд.
Проверка статистических гипотез Лекция 20. План лекции: 1.Проверка статистических гипотез. 2.Критерии асимметрии и эксцесса. 3.Критерий Пирсона.
Транксрипт:

Непрерывные случайные величины Лекция 15

План лекции Непрерывные случайные величины. Закон распределения. Функции распределения и плотности распределения вероятностей, их свойства. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Равномерный закон распределения.

Непрерывные случайные величины Примеры: - артериальное давление пациента; - масса тела пациента; - скорость биохимической реакции в клетке. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток

Основные характеристики непрерывных случайных величин Плотностью распределения вероятностей называется отношение вероятности Р(a

Функция плотности распределения вероятностей – это зависимость плотности распределения от значений величины x. Функция плотности распределения вероятностей

Пример: Функция плотности распределения вероятностей частоты пульса у студентов 1 курса КрасГМУ Непрерывное распределение условие нормировки

Функция F(х) распределения вероятностей (или накопленной вероятности) равна вероятности того, что случайная величина Х меньше наперед заданного числа x. F(x) = P(Х

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок Задача: вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например, от a до b Выразим вероятность этого события через функцию распределения F(X): Событие А: X < b; Событие В: X < a Событие С: a X < b A = B + C

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок-2 По теореме сложения вероятностей получим: Вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке

Плотность распределения случайной величины Вероятность попадания случайной величины на участок от х до х+ х f(x) – плотность функции распределения - производная функции распределения – характеризует плотность, с которой распределяется значение случайной величины в данной точке

Графический вид функции распределения

Связь между f(x) и F(x) F(x)=Р(a

Задача

Графический вид функций Функция распределения Функция плотности распределения

Примеры: Задана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины: Найти: а)значение с, б)функцию плотности распределения вероятностей f(Х), в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0;1). Построить графики функций F(Х) и f(Х).

Решение: Константу С находим из условия :

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0;1)

Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание Дисперсия Среднее квадратическое отклонение

Свойства математического ожидания Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной: М(С)=С Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х) Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий: M(X Y)=M(X) M(Y) Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)M(Y)

Свойства дисперсии случайной величины Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C)=0 Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии возводя его в квадрат: D(CX)=C 2 D(X) Дисперсия двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y) Дисперсия разности двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Примеры: Найти математическое ожидание случайной величины Z=X+2Y, если известно, что M(X)=4, M(Y)=2. M(Z)=8 Найти дисперсию случайной величины D(2X), если D(X)=10. D(2X)=2 2 10=40 Найти дисперсию случайной величины D(X-Y), D(2X+3), если D(X)=5, D(Y)=3. D(X-Y)=5+3=8, D(2X+Y)= =20

Типы функций распределения Дискретные функции распределения: - Биномиальное распределение - Распределение Пуассона Непрерывные функции распределения: - равномерное распределение - нормальное (гауссово) распределение - распределение Парето

Равномерное распределение Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне отрезка [a,b] равна 0:

Равномерное распределение f(x) X ab C

Задана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины: Найти: а) значения с и d, б) функцию плотности распределения вероятностей f(Х), с) числовые характеристики случайной величины Х (использовать формулы равномерного распределения). Решение:

Находим c из условия нормировки: 4c–2c=1, c=1/2. Находим d из условия: при х=4 равно 1, d=-1.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.