Итоги секции математики 5-11 классы (заочный этап XV турнира им. М.В. Ломоносова)

Структура заданий и их оценивание Количество заданий Форма ответаОценивание Часть 15 4 кода (1, 2, 3 и 4) только один верный Верный ответ – 1 балл; неверный – 0 баллов Часть 210 Свободный ответ Целое число или конечная десятичная дробь без единиц измерения (!) Верный ответ – 2 балла; неверный – 0 баллов

Идеи решения некоторых задач 5 класс А4. Старый будильник Васи отстаёт на 8 мин каждые 24 часа. На сколько минут Васе надо поставить его вперед в 17.00, чтобы он зазвонил вовремя в 8.00 следующего утра? 1) 4 мин2) 5 мин 3) 8 мин4) 12 мин

Решение. Задача на пропорцию. Понимание взаимосвязи величин и характера их изменения по отношению друг к другу. За 24 часа отставание 8 минут, тогда за 3 часа отставание – 1 минута. С 17:00 до 8:00 следующего утра пройдет 15 часов, т.е. 5 раз по 3 часа. Значит, отставание составит 5 минут.

В10. Определите произведение первой и последней цифр в наименьшем натуральном числе, сумма цифр которого равна 2013.

Решение. «Конструктивная» задача. Чтобы число было наименьшим, надо чтобы количество разрядов (количество цифр) было как можно меньше : 9 = 223 (ост.6) Значит, число будет иметь 224 разряда, первая цифра 6 (условие наименьшего числа), а остальные 223 цифры – 9. Произведение первой и последней цифр будет равно 54. Ответ. 54.

6 класс

А5. В стране Запутляндии было три города: город А, город В и город С. Жители Города А говорят только правду, жители города В – только ложь, а жители города С – попеременно правду и ложь (то есть, из двух высказанных ими утверждений одно истинно, а другое ложно). В пожарную часть сообщили по телефону: «У нас пожар, скорее приезжайте!» «Где?» спросил дежурный по части. «В городе С», - ответили ему. В какой город должна приехать пожарная машина? Известно, что пожар произошел только в одном городе, а сообщить об этом могут жители любого города. 1) А 2) В3) С 4) однозначно сказать нельзя

Решение. Задача на перебор. Как организовать перебор? Что положить в его основу?

1)Пусть звонят из города А. Так как жители А говорят правду, то первая фраза (У нас пожар) противоречит второй фразе (Пожар в городе С). 2)Пусть звонят из города В. Так как они всегда врут, то тогда пожар не у них, и не в городе С. Тогда пожар в городе А. Противоречий нет. Получен ли ответ в задаче?

3)Пусть звонят из города С. Одна фраза – правда, а другая ложь. Нужен еще один перебор. Если первая фраза верна (У нас пожар), тогда вторая фраза тоже верна (пожар действительно в С). Если первая фраза – ложь, значит, пожар не в С. Тогда вторая фраза тоже ложь. Противоречие. Ответ. Пожар в городе А.

В10. Любитель математики Вася утверждает, что он может записать наименьшее натуральное число, которое заканчивается на 13, делится на 13 и имеет сумму цифр, равную 13. Попробуйте и вы найти это число.

Снова «конструктивная» задача, и снова наименьшее число с заданными условиями. С чего следует начать?

Решение. Так как число заканчивается на 13 и делится на 13, то число полных сотен должно делиться на 13. Все число имеет сумму цифр 13, значит, количество сотен выражается числом, которое имеет сумму цифр 9 (13 – 1 – 3 = 9). Тогда число полных сотен делится на 9 и на 13. Наименьшее такое число 13 9 = 117. Ответ

7 класс В8. В некоторой школе пять седьмых классов. В 7 «А» классе 20% отличников, а в остальных четырех классах вместе 10% отличников. Какой процент отличников во всей параллели седьмых классов, если в 7 «А» классе учатся 25% семиклассников из этой школы?

Задача на проценты Чтобы решать задачи на проценты, следует ответить на самый важный вопрос. Какой?

Важный вопрос в задачах на проценты Какая величина является целым? От чего следует считать указанные проценты?

Решение. Пусть х чел. – все семиклассники школы. Тогда 0,25х чел. учатся в 7 «А» классе; 0,75х чел. – в остальных 7-х классах. Далее считаем отличников: 0,25х 0,2 + 0,75х 0,1 = = 0,05х + 0,075х = 0,125х. Ответ. 12,5%.

В9. Кошке Марусе нужно было покормить и помыть 15 котят. Маруся покормила 8 котят и помыла 9 котят. После этого выяснилось, что ровно 5 котят покормлены, но не помыты. Сколько котят не покормлены и не помыты?

Покормлено и помыто 14 котят, значит, только один котенок не покормлен и не помыт. Решение. Удобно использовать для решения круги Эйлера. М(9) К(8) 5 М(9) 53 К(8) М(9) 536

8 класс В6. Вова и Саша катаются на коньках по кругу на катке. Время от времени Вова обгоняет Сашу. Когда Саша стал двигаться по кругу в противоположном направлении, они стали встречаться в пять раз чаще. Во сколько раз Вова бегает на коньках быстрее Саши?

Как решать задачу, в которой почти нет ни числовых, ни буквенных данных?

Решение. Пусть х м/с – скорость Вовы; y м/с – скорость Саши (х > y). Тогда скорость сближения при движении в одном направлении – (х – y); навстречу друг другу – (х + y). Так как встречаются в 5 раз чаще, значит, скорость сближения в 5 раз больше, т.е. х + y = 5(х – y). Тогда 6y = 4х, т.е. y = 1,5х. Ответ. 1,5.

В9. Сколько существует пятизначных чисел, не делящихся на 10000, у которых первая и последняя цифры четны?

Решение. Задача на перебор. Для первой цифры всего 4 возможности (2, 4, 6 или 8), а последняя цифра может быть нулем, значит, 5 возможностей. Три центральные цифры могут образовывать число от 000 до 999, т.е вариантов. Но необходимо учесть, что 4 нуля не могут быть последними. Тогда количество чисел считаем так: – 4 = – 4 =

9 класс В2. В четырёхугольнике ABCD, изображенном на рисунке, углы при вершинах В и D – прямые, АВ = ВС, а перпендикуляр ВН, проведенный к AD, равен 4. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение. Используем дополнительное построение: НВКD – прямоугольник, СМ – перпендикуляр к ВН. Треугольники АВН и ВСМ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда треугольники АВН и ВКС тоже равны. Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна площади четырёхугольника BКDС. Так как ВН = ВК = 4, то прямоугольник BКDС – квадрат площадью 16. A D B C K M H

В6. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки К, Н и Т соответственно так, что АН высота, СК биссектриса, точка Т середина стороны АС. Пусть М точка пересечения АН и СК, Р точка пересечения ТН и СК. Найдите (периметр треугольника АВС), если КМ = 2, МР = 1, РС = 3. В ответ запишите.

Решение. Р – середина КС, Значит, ТР – средняя линия треугольника АКС, т.е. ТН ǁ АВ. ТН – средняя линия Δ АВС. Тогда АН – высота и медиана Δ АВС. Значит, АВ = АС. T 3 2 P 1 K M H A В C

АН – высота, медиана, а значит, и биссектриса. Тогда М – точка пересе- чения биссектрис. Δ КВС: ВК = ВН и треугольники КВМ и ВНМ равны (по двум сторонам и углу между ними). Значит, МК ВК, тогда СК – биссектриса и высота, т.е. ВС = АС. T 3 2 P 1 K M H A B C

Таким образом, доказано, что треугольник АВС является равносторонним. Его высота равна 6, тогда сторона равна, а периметр. Ответ. 12.

В9. Каркас куба с ребром длины 2 разделен точками на единичные отрезки (смотри рисунок). Сколько различных прямых можно провести через эти точки?

Задача на перебор. Как организовать перебор?

Один из вариантов перебора: Всего 20 точек (8 вершин и 12 на серединах ребер). Количество возможных пар точек: :2 = 190. Но на каждом ребре лежит 3 точки (например, точки А, В и С). Тогда при подсчете пар с их помощью можно создать 3 пары: АВ, АС и ВС. Значит, прямые – ребра учтены в нашем подсчете трижды. 190 – 2 12 = 166.Ответ. 166.

10 класс А5. Найдите сумму всех различных действительных корней уравнения. 1) 22) 3 3) -14) 4

Какие будут предложения по решению этой задачи?

Решение. Преобразуем уравнение и используем графический способ. Из графиков видно, что имеется 2 различных корня, которые легко находятся подбором: -3 и 1. Их сумма равна y x x1x1 x2x

В3. Выберите верные утверждения из перечисленных: 1) Парабола не может быть сечением конуса. 2) Существует четырехугольник, у которого два противоположных угла прямые, а два другие прямыми не являются. 3) Если дискриминант отрицателен, то квадратное неравенство не имеет решений. 4) В равнобедренную трапецию всегда можно вписать окружность. 5) Существует геометрическая прогрессия с ненулевыми членами, у которой сумма первых пятидесяти членов равна нулю.

Задача – «рассуждалка» Блиц-опрос: Какие утверждения верные?

Решение. 1) Окружность, эллипс, парабола и гипербола могут быть сечениями конуса. 2)3) 4) 5) 1; -1; 1; -1; …; 1; -1 A BABA D C OAOA

В10. Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведенную из вершины В, в отношении 5 : 4, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины С? Выразите это отношение в виде числа.

Решение. Δ АВМ свойство биссектрисы АО: АВ = 10х, АМ = 8х. Тогда АК = 5х, АС = 16х. Δ АКС свойство биссектрисы АР: СР : РК = АС : АК = 16 : 5 = 3,2. Ответ. 3,2. M 8x8x К 5x5x C A B O P 5x5x 8x8x

11 класс В2. Укажите количество корней уравнения.

Решение. Полезно дать оценки левой и правой частей данного уравнения. Таким образом, равенство возможно, когда обе части равны 8, х = 0, т.е. один корень.Ответ. 1.

В6. Существует два значения параметра a ( и, ), при которых система уравнений имеет ровно четыре решения. Укажите значение.

Как решать систему?

Решение. Первое уравнение – это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом. Второе уравнение задает в системе координат квадрат x y

Чтобы система имела ровно 4 решения, надо чтобы окружность была вписанной или описанной для квадрата со стороной. Тогда, Значит, Ответ x y 3 0 x y