Основы теории управления Лекция 5 Устойчивость линейных САУ

Равновесное состояние Равновесное состояние объекта – состояние, в котором сумма всех внешних воздействий на объект равна нулю. Виды равновесного состояния: 1.Устойчивое 2.Неустойчивое 3.Нейтральное

Устойчивость системы Каждая система характеризуется неким равновесным состоянием, которое нарушается при внешних воздействиях. Устойчивость системы – свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния (такой тип устойчивости принято называть асимптотической устойчивостью). Неустойчивая система не возвращается к состоянию равновесия по окончанию воздействия, а непрерывно удаляется от него или совершает недопустимо большие колебания около него. Согласно такому определению, нейтральные системы являются неустойчивыми системами.

Устойчивость линейных САУ Линейные САУ могут быть математически выражены в виде линейных дифференциальных уравнений. Каждому линейному однородному дифференциальному уравнению соответствует его (алгебраическое) характеристическое уравнение. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной САУ является отрицательность вещественной части всех корней соответствующего характеристического уравнения. Положительные корни указывают на неустойчивость САУ (расходящиеся колебания). Нулевые корни выявляют положение САУ на границе устойчивости (гармонические колебания).

Критерии устойчивости Попытки анализа устойчивости путём прямого отыскания корней характеристического уравнения сопряжены с рядом практически трудностей. Требуется лишь обнаружить нахождение корней в левой комплексной полуплоскости. Теорема (о необходимом условии устойчивости). Необходимым (но недостаточным) условием устойчивости системы является строгая положительность всех коэффициентов характеристического уравнения системы. Теорема Лагранжа – Дирихле (о достаточном условии устойчивости): Положение равновесия замкнутой системы достаточно устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум. Виды критериев устойчивости: алгебраические и частотные.

Критерий Гурвица Полином Гурвица – полином D( ) степени n>0, корни которого лежат в левой комплексной полуплоскости. Линейная САУ устойчива в том и только в том случае, если полином, стоящий в левой части характеристического уравнения, есть полином Гурвица. Критерий Гурвица. Для того, чтобы полином характеристического уравнения являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры определителя Гурвица.

Критерий Рауса Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были одного знака. Если это не выполняется, то система неустойчива

Критерий Михайлова Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова D(i ), начинаясь при =0 на действительной оси, увеличением от 0 до обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения. Следствие. Система устойчива, если чётная U( ) и V( ) нечётная функции при изменении частоты от 0 до обращаются в 0 поочерёдно, начиная с нечётной функции, т.е. их корни чередуются.

Критерий Найквиста Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф разомкнутой системы W(i ) при изменении от 0 до охватывал L/2 раз в положительном направлении точку (-1;i0), где L – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Следствие. Если разомкнутая система устойчива (L=0), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф W(i ) при изменении от 0 до не охватывал точку (-1;i0).

Запас устойчивости Изменение параметров САУ может вызвать неустойчивость (т.е. может привести к появлению корней характеристического уравнения в правой полуплоскости или на мнимой оси). Такую возможность следует учитывать при проектировании САУ и заранее обеспечивать некий запас устойчивости. Запас устойчивости по фазе (угол ), где 1 - значение фазы, при котором |W(i )|=1. Запас по фазе показывает, насколько нужно увеличить фазу системы, не изменяя её амплитуды, устойчивая прежде система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости по амплитуде ( =1/ |W(i )|), где - значение частоты, соответствующей фазе 180. Запас по амплитуде показывает, во сколько раз необходимо увеличить коэффициент усиления, чтобы устойчивая система оказалась на границе устойчивости. Запасы устойчивости САУ не только гарантируют сохранение устойчивости при изменении параметров, но и в определённой степени характеризуют качество САУ.

Литература Лотош М.М. «Основы теории автоматического управления»