Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду. Толстой Л.Н.

рассмотреть основные виды уравнений познакомиться с различными методами решения уравнений Задачи:

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что следуя этому методу, мы достигнем цели. Лейбниц

Методы решения уравнений разложение многочлена на множители метод введения новой неизвестной комбинирование различных методов метод неопределенных коэффициентов

Разложение многочлена на множители Любой многочлен может быть представлен в виде произведения. Самые известные методы разложения многочленов это: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, выделение полного квадрата, группировка, разложение квадратного трехчлена на множители по формуле

2x 5 -10x 4 +14x 3 -10x 2 +12х =0 2х (х 4 – 5х 3 + 7х 2 + 6) = 0 х = 0 х 4 – 5х 3 + 7х = 0 или (х-2)( х 3 - 3х 2 + х – 3)=0 (х-2)(х 2 ·(х-3)+(х-3))=0 (х-2)(х-3)(х 2 +1)= 0 х – 2 =0 или х – 3 =0 или х = 0 х =2 х =3 корней нет Ответ: 0,2, 3

В некоторых случаях путем замены выражения f(x), входящего в многочлен Р п (х), через у можно получить многочлен относительно у, который уже легко разложить на множители. Затем после замены у на f(x) получаем разложение на множители многочлена Р п (х) Метод введения новой неизвестной

пусть х 2 +2х +2 = t умножим обе части уравнения на 6t(t +1), где t0, t-1 6t 2 – 6 + 6t 2 – 7t 2 – 7t = 0 5t 2 – 7t – 6 = 0 t 1 =2 t 2 =-0,6

1) х 2 + 2х +2 =2 х 2 + 2х = 0 х(х+2)=0 х = 0 или х = - 2 2) х 2 +2х + 2 = -0,6 5х х + 13 = 0 D = < 0 корней нет Ответ: -2;0

Метод неопределенных коэффициентов Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

х 4 +4х х 2 +21х - 16=0 (x 2 +px+g)(x 2 +bx+c)= х 4 +х 3 (p+b)+x 2 (c+g+pb)+x(pc+gb)+gc p=-1, b=5, c=-16, g=1. х 4 +4х х 2 +21х-16=(x 2 +px+g)(x 2 +bx+c) (х 2 - х+1)(х 2 + 5х - 16)=0 1) х 2 - х+1= 0 или 2) х 2 + 5х - 16=0 D= -3 < 0 D = 89 Корней нет Ответ:

Виды уравнений квадратные уравнения биквадратные уравнения возвратные уравнения уравнения вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=А уравнения вида: (ax 2 + bx + c)(ax 2 + b 1 x + c 1 )=Ax 2 уравнения, однородные относительно многочленов

Возвратные уравнения Алгебраическое уравнение f(x)=0 называется возвратным, если у многочлена в левой его части, представленного в каноническом виде, равны коэффициенты членов, равноудаленных от его концов: первого и последнего, второго и предпоследнего и т.д. ax n + bx n-1 + cx n-2 +… + cx 2 + bx + a=0 общий вид :

aх n +bx n bx +a=0 ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0 at 2 +bt+c-2a=0 Рассмотрим алгоритм решения возвратных уравнений четной степени

2x 5 +5x 4 -13x 3 -13x 2 +5x+2= (x-1)(2x 4 +3x 3 -16x 2 +3x+2)=0 x-1=0 или 2x 4 +3x 3 -16x 2 +3x+2=0 2 t 2 +3t-20=0

2x 5 +5x 4 -13x 3 -13x 2 +5x+2=0 х+1=0 или 2x 4 +3x 3 -16x 2 +3x+2=0 1)2x 2 +5x+2=0 x 1 =2, x 2 =0,5 2) x 2 +4x+1=0 x=-1 Ответ: 0,5;2;

(х 2 -х+1) 4 - 6х 2 (х 2 -х+1) 2 = -5х 2 Пусть (х 2 -х+1) 2 = а; х 2 = b a 2 – 6ab + 5b 2 = 0 a(a-b) – 5b(a-b)=0 (a-b)(a-5b)=0 a=b или a=5b 1) (х 2 -х+1) 2 = х 2 2) (х 2 -х+1) 2 = 5х 2 х 2 -х+1= х

Федотова Тамара Валентиновна СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !