Алгебра высказываний

Алгебра и логика Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами: А = {Аристотель - основоположник логики} В = {На яблонях растут бананы}. Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному 0. Таким образом: А = 1, В = 0.

Алгебра и логика Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов: Солнце в зените И тени нет. Мы пойдём в кино ИЛИ на дискотеку. НЕВЕРНО, что Солнце движется вокруг Земли. ЕСЛИ сумма цифр числа делится на 3, ТО число делится на 3 Число 15 делится на 3 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, когда сумма цифр числа 15 делится на 3. Эти союзы в алгебре высказываний заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Солнце в зените И тени нет. Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение): в естественном языке соответствует союзу и; в алгебре высказываний обозначение &; в языках программирования обозначение And. Составное высказывание, образованное в результате конъюнкции истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств. Таблица истинности:Диаграмма Эйлера-Венна АВА&ВА&В АВА&ВА&В

Мы пойдём в кино ИЛИ на дискотеку. Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение): в естественном языке соответствует союзу или; обозначение V; в языках программирования обозначение Or. Составное высказывание образованное в результате дизъюнкции является истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно. В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств. Таблица истинности:Диаграмма Эйлера-Венна АВАVВАVВ А V В

НЕВЕРНО, что Солнце движется вокруг Земли. Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание): в естественном языке соответствует словам неверно, что... и частице не; обозначение А ; в языках программирования обозначение Not; Отрицание - это логическая операция, которая делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным. В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества. Таблица истинности:Диаграмма Эйлера-Венна АА А А

ЕСЛИ сумма цифр числа делится на 3, ТО число делится на 3 Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование): в естественном языке соответствует обороту если..., то...; обозначение Составное высказывание с импликацией является ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно. Таблица истинности: АВ А В

Число 15 делится на 3 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, когда сумма цифр числа 15 делится на 3. Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность): в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае; обозначения, ~. Составное высказывание с эквиваленцией является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Таблица истинности: АВ А В

Тренируемся: Задачник 1 1.Стр.43 1, 2, 5 2.Стр Стр.54 28, 29 4.Найдите значения логических выражений: а) (1V1) V(1 V 0); б) ((1 V 0) V 1) V 1; в) (0 V 1) V(1 V 0); г) (0&1)&1; д) 1&(1&1)&1; е) ((1 V 0)&(1&1))&(0 V 1); ж) ((1&0) V(1&0)) V 1; з) ((1&1) V 0)&(0 V 1); и) ((0&0) V 0)&(1 V 1). Дома: §3.2 стр.125 – 129 вопрос 3.1 стр. 129