Операции над событиями Алгебраические действия с вероятностями событий

События 1.Исход эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти? 2. Событие, которое при реализации данного комплекса условий непременно произойдет? 3. Событие, которое заведомо не может произойти при реализации данного комплекса условий? 4. Элементарное событие называется …

Операции над множествами А = {4, 5, 6, 7}, B = {6, 7, 8, 9, 10, 11}

Событие – подмножество множества всех возможных исходов эксперимента U – множество всех возможных исходов ω – исход – элемент множества U А – событие

Диаграммы Эйлера U U ω A A ω

Противоположное событие и его вероятность A Ā Ā – событие, противоположное А Событие А: выпадет число меньше трех Множество исходов А = {1, 2}; Р(А) = Событие Ā: выпадет число больше или равное трем Множество исходов Ā= {3, 4, 5, 6}; Р(Ā) = Событие Е: выпадет пятерка Множество исходов Е = {5}; Р(Е) = Событие Ē = выпадет не пятерка Множество исходов Ē = {1, 2, 3, 4, 6}; Р(Ē) = Р(Ā) = 1 – Р(А)

Объединение и пересечение событий Объединением событий А и В называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из двух событий А или В Пересечением событий А и В называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба события А и В

Несовместные события Два события А и В называются несовместными, если их пресечение пусто Событие А: выпала тройка Событие В: выпала пятерка Р(А) = Р(В) = Событие С: выпала тройка или пятерка (С = А U В) Р(С) = Р(А U В) = Р(А) + Р(В) =

Формула сложения вероятностей для несовместных событий Р(А U В) = Р(А) + Р(В) В урне 3 красных и 5 желтых шаров. Какова вероятность того, что будут выбраны два шара одного цвета? Р(А 1 UА 2 U…UA k ) = Р(А 1 ) + Р(A 2 )+…+P(A k )

Формула сложения вероятностей для произвольных событий Если события А и В пересекаются, т.е. совместны, то вероятность их объединения можно найти по формуле Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А В) Бросают два кубика. С какой вероятностью будет выброшена хотя бы одна шестерка? Событие А: шестерка выпала на первом кубике Событие В: шестерка выпала на втором кубике Событие А U В: шестерка выпала хотя бы на одном кубике Событие : выпали две шестерки Р(А U В) =

Независимые события Два события А и В называются независимыми, если выполняется равенство Р(А В) = Р(А) Р(В) Из первых n натуральных чисел наугад выбирается число. Событие А: выбранное число – четное. Событие В: выбранное число кратно трем. Выяснить, являются ли события А и В независимыми, если : 1) n = 10; 2) n = 20; 3) n = 30.

Независимые события Выясните, являются ли события А и В независимыми. 1) В одной урне находятся 5 белых и 7 красных шаров, а в другой – 6 белых и 6 красных шаров. Событие А: из 1-ой урны вынут белый шар Событие В: из 2-ой урны вынут белый шар 2) В урне находятся 5 белых и 7 красных шаров Событие А: первым вынут вынут белый шар Событие В: вторым вынут красный шар

Условные вероятности В урне находятся 5 белых и 7 красных шаров Событие А: первым вынут вынут белый шар Событие В: вторым вынут красный шар Р(А) = 5/12, Р(В|А) = 7/11