Соколов Антон, Институт Вычислительной Математики РАН, Université du Littoral Côte d'Opale Сравнение методов решения обратной задачи восстановления характеристик атмосферы по спутниковым измерениям в ИК диапазоне.

Прямая задача: Для заданного состояния системы океан-атмосфера рассчитать радиояркостную температуру, измеряемую прибором на спутнике. Обратная задача: По спутниковым измерениям восстановить характеристики атмосферы и океана. Используемые для решения обратной задачи подходы: Метод наименьших квадратов с фильтрацией предиктанта по ЭОФ Методы редукции и регрессии. Метод квадратичной регрессии. Вариационный метод с начальным приближением – редукцией и фильтрацией по ЭОФ.

dz h z I1I1 dI2dI2 I3I3 Спутник Измеряемый сигнал: Атмосфера безоблачная, равновесная Поглощение молекулярное и континуальное Углы визирования менее 45 градусов Параметры атмосферы - являются гладкими функциями высоты Упрощения:

Монохроматическое и измеренное излучение

Статистические данные и выбор каналов измерений. Использован банк данных Европейского Центра Среднесрочного Прогноза. Выбрано 6000 реализаций, которые разделены на два ансамбля - калибровочный и верификационный. В некоторых задачах использовалось разложение x по ЭОФ. Соответствующие статистические данные по сигналам, регистрируемым спутником, были смоделированы: Выбор частот (измерительных каналов): Отбор по весовым функциям Выбор наиболее информативных

Решение обратной задачи Название методаУчитыва ет нелинейн ые связи Использу ет прямую задачу Точность восстановления Комментарии T0, K T, Kq, гр/кг Прямое обращение оператора НетДа--- Не работает Прямое обращение оператора с регуляризацией по Тихонову НетДа--- Большая ошибка для приземных слоев атмосферы Наименьших квадратов, наилучшая несмещенная оценка НетДа Необходима предварительная фильтрация предиктанта по ЭОФ для уменьшения размерности и использования ковариационных связей. Линейная множественная регрессия Нет Метод оптимален для калибровочного статистического ансамбля Редукция НетДа Совпадает с регрессией, когда предиктант не коррелирует с ошибкой измерений Нелинейная множественная регрессия ДаНет Доказана оптимальность для калибровочного ансамбля Вариационный метод Да Позволяет получить точные результаты при условии использования ЭОФ разложения и хорошего начального приближения (рассчитанного методом редукции)

Линейные методы Пусть прямая задача допускает представление: - отклонение полного вектора от среднего Будем искать решение в виде: R – некоторый линейный оператор. Далее, где необходимо, считаем x и I несмещенными.

Весовые функции

Метод наилучшей несмещенной оценки Совместный вектор раскладывался по ЭОФ, что позволило восстанавливать параметры атмосферы, за счет корреляционных связей. Оптимально использование 7-8 ЭОФ и измерений. A - Якобиан, - отклонение проекции полного вектора на первые ЭОФ, - ков. матрица ошибки. Точность восстановления: 22%

Метод редукции и регрессии. Для точно вычисленных ковариационных матриц редукция и регрессия совпадают, если предиктант не коррелирует с ошибкой. - ков. и автоков. матрицы. A – Якобиан, либо оператор полученный методом сопряженных уравнений. Размерность предиктанта – 23, предиктора – 30.

Нелинейная регрессия. + Метод позволяет учесть нелинейные связи между предиктором и предиктантом. + Получающийся полином оптимален. - Размерность линейной задачи резко возрастает: K -> (K+1)K/2.

Вариационный метод Использовано нулевое приближение полученное редукцией. Предиктант спроектирован на подпространство первых ЭОФ (взято 15 векторов). Использован метод минимизации Ньютона и модифицированный метод Ньютона. x - восстанавливаемый вектор, - априорная оценка восстанавливаемого вектора, - измерение, - прямая задача (1). Размерность вектора измерений - 20.

Название методаУчитыва ет нелинейн ые связи Использу ет прямую задачу Точность восстановления Комментарии T0, K T, Kq, гр/кг Прямое обращение оператора НетДа--- Не работает Прямое обращение оператора с регуляризацией по Тихонову НетДа--- Большая ошибка для приземных слоев атмосферы Наименьших квадратов, наилучшая несмещенная оценка НетДа Необходима предварительная фильтрация предиктанта по ЭОФ для уменьшения размерности и использования ковариационных связей. Линейная множественная регрессия Нет Метод оптимален для калибровочного статистического ансамбля Редукция НетДа Совпадает с регрессией, когда предиктант не коррелирует с ошибкой измерений Нелинейная множественная регрессия ДаНет Доказана оптимальность для калибровочного ансамбля Вариационный метод Да Позволяет получить точные результаты при условии использования ЭОФ разложения и хорошего начального приближения (рассчитанного методом редукции)

A simplified optical layout of the Fourier transform interferometer (FTIR)

Регистрируемый на спутнике сигнал: - спектральная характеристика, - диаграмма направленности

dz h z I1I1 dI2dI2 dI 3 Surface Satellite (1) - коэффициент поглощения - коэффициент отражения - излучательная способность поверхности - функция Планка - Закон Кирхгоффа

Упрощения и предположения. 1.Спектральная и угловая характеристики прибора дельта- функции. 2.Измерения проводятся не слишком больших углах. Тогда можно пренебречь кривизной поверхности. 3.Поглощение только молекулярное и континуальное. 4.Существует некоторое среднее состояние атмосферы и реализации распределены около этого состояния. 5.Профили температуры и влажности являются достаточно гладкими функциями высоты и задача может быть дискретизирована.

Расчет коэффициента поглощения и учет водяного континуума Молекулярное поглощение рассчитывалось методом полинейного счета, с использованием спектроскопической БД HITRAN. Была добавлена параметризация континуального поглощения водным паром, создатель Clough S.A. Были аналитически рассчитаны производные поглощения по температуре, давлению и концентрации.

Расчет Якобиана прямой задачи. Явного рассчитан Якобиан прямой задачи, что позволило: 1. Оценить нелинейность задачи. 2. Решать обратную задачу методом редукции и методом наилучшей линейной несмещенной оценки с использованием Якобиана. 3. Использовать метод минимизации Ньютона и модифицированный метод Ньютона для нахождения решения обратной задачи вариационным методом.

Выбор частот измерений Считалось, что измерения проводятся в надир, Было выбрано 60 частот в полосах CO2 и H2O, на которых излучение несет информацию с различных высот от 0 до h. Частоты были отсортированы по убыванию информативности.

Оценка нелинейности. Ошибка линеаризации прямой задачи для векторов из ансамбля: (3)(3) - решение прямой задачи (1) - линеаризованное решение, A - матрица Якоби,

Вывод: Нелинейность данной задачи позволяет ожидать удовлетворительных результатов от линейных методов. По видимому, нелинейные методы позволят повысить точность решения обратной задачи. (4)(4) Проверка нелинейности для каждой частоты при отклонениях от среднего профиля вдоль первых ЭОФ:

Пример точного и приближенного решения некорректной задачи - интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода: Некорректные задачи с ядром K(x,s)=1/(1+100(x-s) 2 ). а) С регуляризацией б) Без регуляризации

Разложение по ЭОФ. Задача восстановления профиля температуры при фиксированной влажности крайне чувствительна к влажности и наоборот, поэтому расщепить задачу на две не удается. Обратную задачу не удалось решить без привлечения ансамбля статистических данных – недостаточно информации о нижних слоях атмосферы (ниже 850 мБар). - автоковариационная матрица.

Таблица 1. Ошибка восстановления для редукции и нелинейной регрессии. Абсолютная ошибка Относительная ошибка, %, K, гр/кг Редукция, калибровочный ансамбль Квадратичная регрессия калибровочный ансамбль Редукция, верификационный ансамбль Квадратичная регрессия, верификационный ансамбль

Выводы: Редукция дает достаточно точный результат (на данных статистических ансамблях) Нелинейная (квадратичная) регрессия позволяет значительно повысить точность восстановления. Однако, нелинейная регрессия значительно более чувствительна к статистическим характеристикам ансамбля и точности измерения.

Модифицированный метод Ньютона

Ошибка восстановления в точке на первом и втором ансамбле соответственно 11.36% и 12.98%. Вывод – результат, полученный методом редукции удалось уточнить вариационным методом.

Таблица 2. Результаты восстановления полного вектора различными методами, относительная ошибка. Редукция Нелинейная регрессия Наименьшие квадраты, А - Якобиан. Вариацион- ный метод. Калибровочный ансамбль 13.8% 5.9% 21.8%. 11.4% Верификационный ансамбль 14.5% 8.2% 22.7% 12.9%.

Редукция Нелинейна я регрессия Наименьшие квадраты, А -Якобиан. Наименьшие квадраты, А – Сопряж. уравн. Вариационны й метод. Абсолютная ошибка, калибровочный ансамбль Абсолютная ошибка, верификационный ансамбль Таблица 3. Результаты восстановления полного вектора различными методами, абсолютная ошибка.

Исследование на нелинейность. Ошибка линеаризации прямой задачи для векторов из ансамбля: (3)(3) - решение прямой задачи (2) - линеаризованное решение, A - матрица Якоби, Проверка нелинейности при отклонениях от среднего профиля вдоль первых двух ЭОФ: (4)(4)

Таблица 2. Результаты восстановления полного вектора различными методами. Редукция Нелиней- ная регрессия Наименьшие квадраты, А – Якобиан. Наименьшие квадраты, А – Сопр. ур. Вар. метод. Абсолютная ошибка, калибро- вочный ансамбль Абсолютная ошибка, верифи- кационный ансамбль Относитель ная ошибка, калибро- вочный ансамбль 13.8%5.9%21.8%32.8%.11.4% Относитель ная ошибка, верифи- кационный ансамбль 14.5%8.2%22.7%.34.9% 12.9%

Основные результаты. Решалась задача определения профилей температуры и влажности атмосферы и температуры поверхности океана по спутниковым измерениям в ИК диапазоне, при отсутствии рассеяния. Результаты: 1.Решена прямая задача с учетом континуального поглощения и отражения от поверхности. 2.Явно вычислен Якобиан прямой задачи. 3.Предложена методика выбора измерительных каналов (частот). 4.Проведено исследование задачи на нелинейность. 5.Проведены численные эксперименты решения обратной задачи различными способами: а) Методом наилучшей несмещенной оценки. б) Редукцией. в) Нелинейной регрессией г) Вариационным методом

Envisat