Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / 21 Лекция 1. Математические методы планирования риска Содержание лекции: 1. Функция полезности в условиях риска Функция полезности в условиях риска Функция полезности в условиях риска 2. Оптимальное планирование в условиях риска Оптимальное планирование в условиях риска Оптимальное планирование в условиях риска 3. Подготовка исходных данных о риске Подготовка исходных данных о риске Подготовка исходных данных о риске 4. Моделирование многоэтапного процесса принятия решений Моделирование многоэтапного процесса принятия решений Моделирование многоэтапного процесса принятия решений

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / 21 Литература Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе : Учеб. пособие / А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталёв, Т.П. Барановская; Под ред. Б.А. Лагоши. - 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, Управление фирмой / Под ред. Л.Л. Разумновой. М.: МАКС Пресс, Часть 2, с Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. М.: Прогресс, Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, Фридмен М., Сэвидж Л.Дж. Анализ полезности при выборе среди альтернатив, предполагающих риск // Теория потребительского поведения и спроса: Вехи экономической мысли: Вып. 1. СПб.: Экономическая школа, – с Светлов Н.М., Светлова Г.Н. Построение и решение оптимизационных моделей средствами программ MS Excel и XA: Методические указания для студентов экономического факультета / РГАУ – МСХА имени К.А. Тимирязева. М., Arrow K.J. Essays in the theory of risk-bearing. Chicago: Markham, Pratt J.W. Risk aversion in the small and in the large // Econometrica, 1964, v.32, p

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Функция полезности в условиях риска Пусть имеется три варианта ведения бизнеса: Прибыль Исход 1 Исход 2 Исход 3 Вариант A Вариант B Вариант C Какой вариант предпочесть?(предположим, что исходы равновероятны)

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Наименьший возможный убыток – вариант A (безубыточен, прибыль не менее 100 ед.) Наибольшая возможная прибыль – вариант C (450 ед.) Наибольшее математическое ожидание прибыли – вариант C (117 ед.) Набольшее математическое ожидание прибыли при условии безубыточности – вариант A (100 ед.)

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Существует ли общее правило выбора? Ответ Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна: Да. Пусть вариант выбора описывается парой векторов ($,p), где $ значения прибыли (убытка), p их вероятности Тогда общее правило выбора в условиях риска может быть построено на следующих пяти аксиомах: 1. Предпочтения между вариантами обладают полнотой и транзитивностью: – для любых ($,p) 1 и ($,p) 2 непременно имеет место одно из следующего: ($,p) 1 ($,p) 2 ; ($,p) 1 ($,p) 2 ; ($,p) 1 ~ ($,p) 2 ; – если ($,p) 1 ($,p) 2 и ($,p) 2 ($,p) 3, то ($,p) 1 ($,p) 3 ; для и ~ аналогично

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Для рискового выбора существует безрисковый эквивалент: Пусть $ 1 >$ 2 >$ 3. Тогда существует такая вероятность p, что (($ 1,$ 3 ),(p,1–p)) ~ $ 2 3. Если два выбора равноценны, то любой выбор между этими двумя выборами равноценен каждому из них: Пусть ($ 1,p 1 ) ~ ($ 2,p 2 ). Тогда для любой p 0 имеет место ((($ 1,p 1 ),($ 2,p 2 )),(p 0,1–p 0 )) ~ ($ 1,p 1 ) 4. Если два выбора приносят одинаковые прибыли при вероятных исходах, предпочтительнее тот, в котором исход с большей прибылью вероятнее: Для любых A = (($ 1,$ 2 ),(p 1,1–p 1 )) и B = (($ 1,$ 2 ), (p 2,1–p 2 )), где $ 1 >$ 2, предпочтение A B имеет место только тогда, когда p 1 >p 2.

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Существует правило задания выбора,равноценного любому выбору междувыборами:Пусть даны A1 = ($1,p1), A2 = ($2,p2), …,An = ($n,pn) и A0 = ((A1… An), (p01 … p0n)).Положим, чтоB = (($1|$2|…|$n), (p01p1|p02p2|…|p0npn)).Тогда A0 ~ B.

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Аксиомам Неймана-Моргенштерна отвечает правило принятия решения следующего вида: ($ 1,p 1 ) ($ 2,p 2 ), если f ($ 1 )p 1 > f ($ 2 )p 2, где f ($) – функция отношения индивида к риску (функция полезности). В экономических приложениях f ($) возрастающая и выпуклая: возрастание обозначает, что большая прибыль предпочтительнее малой; выпуклость обозначает, что меньший риск предпочтительнее большего риска

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Функция u (.) выпукла, если из О (0,1)следуетu (x + (1)x) u (x) + (1) u (x).

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / 21 1.

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Примеры подходящих f ($): Функция Неприятие риска logn($) 1/$ $ (1 – k) / (1 – k) k /$, где k 1 $ 1/(2$) ln(1+$/k)(функция Бернулли) 1/(k+$) $0 –(1/k)$+1 ln(k) (не зависит от $)

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Пусть f ($) = –(1/k) $ +1, т.е. неприятие риска не зависит от $. Тогда ЛПР, неприятие риска которого выше, чем , выберет вариант A ЛПР с неприятием риска ниже этой величины выберет вариант C Вариант B не выберет ни один субъект с возрастающей выпуклой функцией полезности (желающие могут попробовать это доказать, основываясь на аксиомах Неймана-Моргенштерна) Прибыль Исход 1 Исход 2 Исход 3 Вариант A Вариант B Вариант C

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Оптимальное планирование в условиях риска Найти оптимальный план производства пушек и масла, основываясь на данных, приведённых в таблице. Неприятие риска не зависит от прибыли. Решение: max(0.95f ($ 1 )+.05f ($ 2 ) | $ 1 =-2x 1 +2x 2 ; $ 2 =10x 1 +1x 2 ; 20x 1 +5x ), где f ($) = –(1/e r ) $ +1 (решение следует получить при всех r, т.к. о них в условии не сказано). Ответ: при любом неприятии риска (т.е. r ) пушки производить не следует, масло выпускается в количестве 2000 ед.

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Решение: max(0.05f ($ 1 )+.95f ($ 2 ) | $ 1 =-2x 1 +2x 2 ; $ 2 =10x 1 +1x 2 ; 20x 1 +5x ), где f ($) = –(1/e r ) $ +1 (решение следует получить при всех r, т.к. о них в условии не сказано). Ответ при r = 0,01: пушек 0 ед., масла 2000 ед. Ответ при r = 0,003: пушек 175,7 ед., масла 1297,2 ед. Ответ при r = 0,001: пушек 277,1 ед., масла 891,6 ед. Ответ при r = 0,0006: пушек 378,5 ед., масла 486,0 ед. Ответ при r = 0,00042: пушек 487,1 ед., масла 51,4 ед. Ответ при r = 0,0004: пушек 500 ед., масла 0 ед. Ответ при r = 0,0001: пушек 500 ед., масла 0 ед.

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Подготовка исходных данных о риске Вероятность исходов Статистика В скольких процентах случаев при реализации коммерческих проектов цены на продукцию оказывались ниже ожидаемых на 20 и более процентов Теоретические модели исследуемого процесса Вероятность того, что запросы на поставку прокатных станов поступят одновременно от 3 и более компаний, так что некоторым из них придётся отказать, подчиняется распределению Пуассона Опрос экспертов Если другие способы не работают Функция полезности Неприятие риска

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Подготовка исходных данных о риске Вероятность исходов Функция полезности Форму функции полезности почти никогда не удаётся определить эмпирически Поэтому обычно используют функцию с постоянным абсолютным или относительным неприятием риска Таким способом можно моделировать выбор только в окрестности фактического состояния моделируемой системы Неприятие риска

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Подготовка исходных данных о риске Вероятность исходов Функция полезности Неприятие риска Анкетирование ЛПР В анкете представлены пары ситуаций вида (($ 1,$ 2 ),(p 1,p 2 )), из которых ЛПР выбирает те, которые ему представляются более привлекательными На основе данных анкетирования подбираются параметры функции полезности метод наименьших квадратов (OLS)метод наименьших квадратов (OLS) Исключение убытка функция полезности не требуется не всегда возможно

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Моделирование многоэтапного процесса принятия решений Туроператор располагает 200 тыс.у.е. инвестиционных ресурсов, которые может вложить в развитие инфраструктуры горнолыжного курорта в Альпах или гостиницы на Гавайях. Потоки туристов зависят от погоды в Альпах: если снег опять не выпадет до января (вероятность 50%), на отдых в Альпах будет 1 тыс. заявок, иначе – 3 тыс.; на Гавайях, соответственно, - 2,5 тыс. и 1,5 тыс. Имеется 2 тыс. мест в Альпах и 1 тыс. мест на Гавайях. Создание одного места в Альпах требует 90 у.е., на Гавайях – 110 у.е. Приведённый доход от 1 клиента в расчёте на один год в Альпах – 45 у.е. при горнолыжной погоде и 30 у.е. при обычной, на Гавайях – 40 у.е. Если места в Альпах кончились, клиент соглашается на отдых на Гавайях при снижении дохода вдвое против «альпийского», и наоборот. Горизонт планирования – 3 года. Найти: план распределения инвестиционных ресурсов; план расселения клиентов по курортам в зависимости от погоды, максимизирующий приведённый доход туроператора за вычетом инвестиций.

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Решаем задачу. 1. Переменные: Априорное решение (когда погода неизвестна): инвестиции в гостиничные места на Альпах (у.е.) – x 01 инвестиции в гостиничные места на Гавайях (у.е.) – x 02 Апостериорные решения (для «нелыжной» и «лыжной» погоды) клиенты, подавшие заявки на Альпы, чел.: попавшие в Альпы – x 11 и x 21 переведённые на Гавайи – x 12 и x 22 клиенты, подавшие заявки на Гавайи, чел.: попавшие на Гавайи – x 13 и x 23 переведённые в Альпы – x 14 и x Ограничения: Общий объём инвестиций, у.е.: x 01 + x «Нелыжная» погода: мест на Альпах должно хватить всем (чел.): x 11 + x x 01 / 90 мест на Гавайях должно хватить всем (чел.): x 12 + x x 02 / 110 всех подавших заявки на Альпы необходимо обслужить (чел.): x 11 + x 12 = 1000 всех подавших заявки на Гавайи необходимо обслужить (чел.): x 13 + x 14 = 2500 «Лыжная» погода: составляется аналогично, только цифры другие и переменные апостериорного решения относятся к другому исходу.

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Решаем задачу (cont.) 3. Целевая функция: максимум математического ожидания дохода, у.е.: 3·(0,5·(30x 11 + (30/2)x x 13 + (40/2)x 14 ) + +0,5·(45x 21 + (45/2)x x 23 + (40/2)x 24 ) ) – – (x 01 + x 02 ) NB: здесь принято нулевое неприятие риска; в противном случае: 0,5· f (3·(30x 11 + (30/2)x x 13 + (40/2)x 14 ) – (x 01 + x 02 )) + +0,5·f (3·(45x 21 + (45/2)x x 23 + (40/2)x 24 ) – (x 01 + x 02 )) f (·) – функция полезности Задача в этом случае становится нелинейной.

Математические методы планирования риска (с) Н.М. Светлов, / Решаем задачу (cont.) Результат (для случая нулевого неприятия риска): 90 тыс. у.е. вкладываем в Альпы (строим 1000 мест) 55 тыс. у.е. вкладываем в Гавайи (строим 500 мест) 55 тыс. у.е. инвестиционных ресурсов остаются неизрасходованными при «нелыжной» погоде: всех желающих ехать в Альпы размещаем в Альпах (1000 чел.); из 2500 желающих отдыхать на Гавайях 1500 (по числу мест) отправляем на Гавайи, остальные 1000 едут с огромными скидками на Альпы дышать свежим воздухом; при «лыжной» погоде: все желающие ехать в Альпы (3000 чел.) едут в Альпы; все желающие ехать на Гавайи (1500 чел.) едут на Гавайи математическое ожидание дохода (за вычетом инвестиций) составляет 312,5 тыс. у.е. Если бы туроператор не боялся потерять клиентскую базу и отказал части клиентов в «лыжную» погоду, доход за вычетом инвестиций мог бы стать ещё больше (335 тыс. у.е.). В этом случае инвестируется только 55 тыс. у.е. в гостиницы на Гавайях. Планы для других вероятностей «лыжной» погоды предлагаю составить самостоятельно. I этап (незави- симо от погоды) II этап (когда станет известно, какая погода)