Решение задач с помощью квадратных уравнений Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н. э. правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. (c) Коробейникова Н.А.1 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

древнегреческий математик из Александрии Он собирал известные и придумывал новые задачи, а позднее объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть пережили хаос Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения. Остальные семь книг погибли в результате цепочки трагических событий, которые отбросили математику к временам древних вавилонян. В верхней строке записано уравнение Лист из Арифметики (c) Коробейникова Н.А. материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены вКниге об абаке, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы. (c) Коробейникова Н.А.3 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Этот вывод и был сформулирован впервые французским математиком Франсуа Виетом, который все знают как теорема Виета В приведенном квадратном уравнении сумма корней уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение его корней равно свободному коэффициенту x1 + x2 = –p x1 x2 = q (c) Коробейникова Н.А.4 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году немецким математиком М.Штифелем. (c) Коробейникова Н.А.5 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Спортивная площадка площадью 1800кв.м имеет форму прямоугольника, длина которого на 5м больше ширины. Найдите размеры площадки. (c) Коробейникова Н.А.6 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Пусть Xм ширина площадки; (x+5)м длина площадки. По условию задачи площадь спортивной площадки равна 1800м2. Составим уравнение. x(x+5)=1800, x 2 +5x-1800=0, D= =7225, X1=-45 (не удовлетворяет условию задачи), X2=40 (м) – ширина участка. 40+5=45(м) – длина участка. Ответ. 40м и 45м. (c) Коробейникова Н.А.7 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 132. Задача2 Справка. Натуральные числа: 1,2,3,4,5,6,7,… (c) Коробейникова Н.А.8 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

задача3 Найти два последовательных нечетных числа, если их произведение равно 195. Найти два последовательных нечетных числа, если их произведение равно 195. Справка. Нечетные числа: 1,3,5,7,9,11,.. (c) Коробейникова Н.А.9 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

задача4 Периметр прямоугольника равен 10 м, площадь-6 кв. м. Найти его стороны. (c) Коробейникова Н.А.10 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Задача5.Индусская задача «На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали... Вместе сколько ты мне скажешь, Обезьян там было в роще?» (c) Коробейникова Н.А.11 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

решение Задача имеет два решения (c) Коробейникова Н.А.12 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Задача 6 Определите стороны прямоугольного поля площадью 140 га, если одна его сторона на 400 м больше другой. Определите стороны прямоугольного поля площадью 140 га, если одна его сторона на 400 м больше другой. Справка 1га-10000кв.м (c) Коробейникова Н.А.13 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

решение хм – сторона поля; хм – сторона поля; (х+400)м- другая сторона. (х+400)м- другая сторона. По условию площадь кв.м. По условию площадь кв.м. Составим уравнение. Составим уравнение. х(х+400)= , х(х+400)= , D= , х1=1000, х2=1400. Ответ. 1000м, 1400м. (c) Коробейникова Н.А.14 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

задача6 Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами? (c) Коробейникова Н.А.15 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

решение Х км/ч-расстояние между городами; Х км/ч-расстояние между городами; х/90 ч-время скорого поезда; х/90 ч-время скорого поезда; х/60 ч-время товарного поезда; х/60 ч-время товарного поезда; х/90 меньше х/60 на 1,5часа. х/90 меньше х/60 на 1,5часа. Составим уравнение: Составим уравнение: х/60 - х/90 = 3/2; х/60 - х/90 = 3/2; 3х-2х=270; 3х-2х=270; Х=270. Ответ. 270 км. Х=270. Ответ. 270 км. (c) Коробейникова Н.А.16 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Задача7 Ученику и мастеру дано задание изготовить одинаковое количество деталей. Мастер, изготовляя 18 деталей в час, затратил на выполнение задания на 3 ч меньше, чем ученик, который изготавливал лишь 12 деталей в час. Сколько деталей было заказано? Ученику и мастеру дано задание изготовить одинаковое количество деталей. Мастер, изготовляя 18 деталей в час, затратил на выполнение задания на 3 ч меньше, чем ученик, который изготавливал лишь 12 деталей в час. Сколько деталей было заказано? (c) Коробейникова Н.А.17 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Решение. Х-вся работа; Х-вся работа; х/18 ч.- время затраченное мастером; х/18 ч.- время затраченное мастером; х/12 ч.- время затраченное учеником; х/12 ч.- время затраченное учеником; х/18 меньше х/12 на 3 часа. х/18 меньше х/12 на 3 часа. Составим уравнение: Составим уравнение: х/12 – х/18 = 3; х/12 – х/18 = 3; 3х-2х=108; 3х-2х=108; Х=108. Ответ.108 деталей. Х=108. Ответ.108 деталей. (c) Коробейникова Н.А.18 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

задача8 Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси? Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси? (c) Коробейникова Н.А.19 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

решение Скорость Км. в.час ВремяЧас.ПутьКм. АвтобусХ60/Х60 ТаксиХ+10 60/(Х+10 ) 60 (c) Коробейникова Н.А.20 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

60/(Х+10) меньше 60/Х на1/12. Составим уравнение: 60/Х -60/(Х+10)=1/12; 720(х+10)-720х=х(х+10); 720х х= х²+10х; х²+10х-7200=0; Д=28900; x1=-90 не удовлетворяет условию; X2=80. Ответ. 80 км.в час. (c) Коробейникова Н.А.21 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Задача 9 Для вывоза песка из карьера в автопарке было заказано несколько одинаковых грузовых автомобилей. Руководство автопарка решило, что на каждую машину можно погрузить на одну тонну груза больше, чем рассчитывали, и поэтому прислало на 4 машины меньше. В итоге все 80 тонн песка были вывезены. Сколько машин было заказано в автопарке? Для вывоза песка из карьера в автопарке было заказано несколько одинаковых грузовых автомобилей. Руководство автопарка решило, что на каждую машину можно погрузить на одну тонну груза больше, чем рассчитывали, и поэтому прислало на 4 машины меньше. В итоге все 80 тонн песка были вывезены. Сколько машин было заказано в автопарке? (c) Коробейникова Н.А.22 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Тоннаж машин (т)ЧислоМашин(шт) Общий груз (т) Заказано80/хх80 На самом деле80/(х-4)Х-480 (c) Коробейникова Н.А.23 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

= 80/(х-4) больше 80/х на 1 тонну. Составим уравнение: 80/(х-4)-80/х=1; 80х-80х+320 = х²-4х; х²-4х-320=0; Д=1296; x1=-16 НЕ УДОВЛЕТВОРЯЕТ УСЛОВИЮ; X2=20. Ответ. 20 машин. (c) Коробейникова Н.А.24 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

1. Ученик решил прочитать книгу, содержащую 480 страниц, за несколько дней. Но каждый день он читал на 20 страниц больше, чем предполагал, и поэтому прочитал книгу на 4 дня раньше. За сколько дней была прочитана книга? 2.Теплоход прошёл 18 км по озеру и 40 км по течению реки за 2 ч. Найдите скорость теплохода при движении по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 3.Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами? (c) Коробейникова Н.А.25 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

ответы 1.(480/(х-4) – 480/х = 20; х = 12) 2. (18/х + 40/(х+3) = 2, х = 27) 3. (270км.) (c) Коробейникова Н.А.26 материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com