Понятие о методах Монте-Карло. Расчет интегралов 2.5. Расчет интегралов методом Монте-Карло

Понятие о методах Монте-Карло При исследовании взаимодействующих систем расчет термодинамических средних методом точной диагонализации при достаточно большом размере системы неприменим из-за огромного числа степеней свободы в системе Метод Монте-Карло позволяет даже в случае макроскопически большого числа степеней свободы получить асимптотически точные результаты для термодинамических характеристик системы Создателями метода считаются Дж. Нейман и С. Улам (1949 г.) Методы стохастического моделирования, такие как метод МК, используются как для физических задач, так и для решения сложных математических проблем, где другие аналитические и приближенные подходы не работают 2

Простейший пример: вычисление площади сложной плоской фигуры Поместим фигуру внутрь единичного квадрата Выберем внутри квадрата N случайных точек Площадь фигуры равна отношению числа точек, попавших внутрь фигуры, к полному числу точек Преимущество: простота использования (нужен лишь хороший датчик случайных чисел) Недостаток: ошибка расчета уменьшается в среднем как Для более эффективной сходимости нужен алгоритм, учитывающий особенности задачи 3

Расчет интегралов Требуется вычислить интеграл Выберем произвольную плотность распределения, удовлетворяющую условию Определим случайную величину – случайная величина, распределенная с плотностью Тогда Применяя центральную предельную теорему к серии случайных величин, имеем: Таким образом, при достаточно большом N 4

Расчет интегралов Для оптимального расчета интеграла с минимальной погрешностью следует выбирать распределение p(x), пропорциональное |g(x)| или, по возможности, близкое к этому Такой выбор распределения приводит к наименьшей статистической ошибке и быстрейшей скорости расчета Такой расчет интеграла с наиболее близкой к |g(x)| плотностью распределения называется существенной выборкой В методе Монте-Карло вместо всех возможных значений степеней свободы используются существенные выборки 5

Расчет интегралов Рассчитаем методом Монте-Карло интеграл Используем для расчета интеграла различные нормированные функции распределения: Функция распределения p(x) Случайные числа, распределенные по закону p(x) Расчетное значение интеграла в зависимости от числа итераций 6

Расчет интегралов Распределение p 3 (x) наиболее близко к подынтегральной функции Сходимость при равномерном распределении должна быть наихудшей 7

Расчет интегралов Процесс сходимости расчетного значения интеграла к точному значению в зависимости от числа сгенерированных случайных точек 8

Эффективность метода Монте-Карло Эффективность алгоритма МК напрямую зависит от удачного выбора функции распределения моделируемой случайной величины Эффективность метода МК растет с размерностью рассчитываемого интеграла. Расчет двумерных и трехмерных интегралов методом МК более эффективен, чем расчет при помощи разностных схем Метод МК с успехом используется для различных физических и математических задач и процессов: для моделирования систем массового обслуживания, информационных потоков, процессов протекания, процессов распространения нейтронов в средах и т.д. Все вышеизложенное касается только классических задач. Для квантовых моделей и термодинамики существуют более совершенные алгоритмы, специально адаптированные под конкретные проблемы 9