Решение уравнений с параметрами, содержащие модуль. Решение уравнений с параметрами, содержащие модуль. Автор: учитель математики гимназии 18 Гарипова Расиха Мунировна

Содержание: Введение Глава I: Что такое уравнения с параметрами? Линейные уравнения. Глава II: Решение графическим способом уравнений с параметрами. Примеры решения уравнений с параметрами. Список литературы.

Глава I Что такое уравнения с параметрами? Уравнения с параметрами – один из наиболее труднейших разделов математики. Кроме использования определённых алгоритмов решения уравнения приходиться думать об удачной классификации и следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Эта тема проверяет не натаскиваемость ученика, а подлинное понимание материала. Пусть дано уравнение F(x;a) = 0. Если ставиться задача: отыскать все такие пары (x;a), которые удовлетворяют данному уравнению, то это уравнение с двумя переменными x и a. Можно поставить и другую задачу: для каждого значения a решить уравнение относительно x, то уравнение F(x;a) = 0 называют уравнением с переменным x и параметром a.

Такое уравнение – по существу, краткая запись семейства уравнений при конкретных значениях параметра a. Решить уравнение с параметром a, переменной x – это значит, на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из данного при любых действительных значениях параметра. Выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее каждое уравнение семейства должно быть решено. Для этого надо по некоторому целесообразному признаку разбить множества всех значений на подмножества и решить заданное затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества решений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых, или при переходе через которые, происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называют контрольными. Трудно дать рекомендации по выделению контрольных значений параметра, которые годились бы на все случаи жизни.

Но некоторые из них: 1. обращение в нуль старшего коэффициента в уравнениях F(x) = 0, где F(x) – многочлен; 2. обращение в нуль дискриминанта квадратного трехчлена; 3. обращение в нуль знаменателя. Решить уравнение с параметром значит: 1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров. 2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Линейные уравнения. Уравнения вида ax = b называется линейным, где x- переменная величина, a и b- постоянные величины. А), b – любое, то - единственный корень; Б) a = 0, Если b = 0, то уравнение имеет множество решений; Если, то уравнение не имеет решений. (контрольные значения параметра а число 0)

Глава II Решение графическим способом уравнений с параметром. Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический. В данном реферате хочу остановиться на нахождении числа решений таких уравнений, в которых под знаком модуля находиться квадратный трехчлен (на страницах журнала математика мне встречались только такие статьи, где под знаком модуля рассматривались только линейные функции).

Разберем несколько заданий. 1. Найдите число решений уравнения В зависимости от параметра. Решение. Не представляет особого труда построить график функции. Он изображен жирной линией на рис 1. Полезно выделить полный квадрат: и выяснить с учащимися, как по записи вида определяют координаты вершины параболы, а значит, и координаты точки K на рис. 1. Уравнение имеет столько решений, сколько раз прямая пересекает график функции Примеры решения уравнений с параметрами

На рис. 1 видно: Если то графики не имеют общих точек, т.е. нет решения. Если, то графики имеют две общие точки (А и В), т.е. два решения. Если, то графики пересекаются в четырех точках (это могут быть точки M, N, P, Q) – что дает четыре решения; Если, то графики имеют три общие точки C, D, K, т.е. три решения. Если, то графики имеют две общие точки E, F, т.е. два решения. На рисунок 1 Задача 2

Задача 2 При каких действительных значениях система Имеет максимальное число решений? Решение: Аналитический способ поиска ответа приведет в данном случае к достаточно длинным рассуждениям, так как надо рассмотреть много ветвлений. Проще применить графический способ. На рисунок 2

В каждой четверти координатной плоскости построим график уравнения. Это ромб ABCD с центром O (0;0), у которого OA = 2, OB = 3. Данная система имеет наибольшее число решений, когда окружность пересекает каждую сторону полученного ромба в двух точках. На рисунок 2

Это возможно, если радиус окружности R = больше половины высоты ромба, но меньше половины его диагонали. Найдем половину высоты ромба как высоту h треугольника AOB:, где На рисунок 2

…значит, или Ответ: При исходная система имеет максимальное число решений, т.е. 8 решений. На рисунок 2 Просмотре ть больше задач

Список литературы. Л. Н. Гуськова: «Задачи с параметром» Журнал «Математика» Тренировочные материалы по подготовке к ЕГЭ