Авторы: Равичев Л.В., Ломакина И.А. Кафедра менеджмента и маркетинга РХТУ им. Д.И.Менделеева. Москва СТАТИСТИКА Лекция 2. Выборочное наблюдение. Аналитическая статистика.

2 Выборочное наблюдение Под выборочным наблюдением понимается такое несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблюдению) повергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным образом. Совокупность отобранных для обследования единиц в статистике принято называть выборочной, а совокупность единиц, из которых производится отбор, - генеральной.

3 Выборочное наблюдение ХарактеристикаГенеральная совокупность Выборочная совокупность 1Объем совокупности (численность единиц) Nn 2 Численность единиц, обладающих обследуемым признаком. Mm 3 Доля единиц, обладающих обследуемым признаком. 4Средний размер признака. 5Дисперсия количесвенного признака. 6Дисперсия альтернативного признака.

Предельная ошибка выборки: 4 Ошибка выборочного наблюдения Ошибка выборочного наблюдения – представляет собой разность между величиной параметра в генеральной совокупности и его величиной, вычисленной по результатам выборочного наблюдения. где:

5 Теорема П.Л.Чебышева При достаточно большом числе независимых наблюдений с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что отклонение выборочной средней от генеральной будет сколь угодно малым. При этом величина предельной ошибки выборки не должна превышать t. где x - средняя ошибка выборки:

6 Теорема А.М.Ляпунова Распределение выборочных средних (а следовательно, и их отклонений от генеральной средней) при достаточно большом числе независимых наблюде- ний приближенно нормально при условии, что генеральная совокупность об- ладает конечной средней и ограниченной дисперсией. где: Предельная ошибка выборки дает возможность выяснить, в каких преде- лах находится величина генеральной средней.

7 Теорема А.М.Ляпунова Значение интеграла F(t) для различных значений коэффициента доверия t в специальных математических таблицах: 0,0 0,1 Целые и десятые доли t Сотые доли t 0 0,0000 0, ,0080 0, ,0638 0, ,0718 0, ,0160 0,3961 2,10,0440 0,9651 0,97070,9715 5,00, ,3988 0, ,9660 0,9698 2,10,96430,96510,9698 0,97070,97150, ,3988 0, ,9698 Полученное значение F(t) = 0,9698 показывает, что в 96,98% случаев разность между выборочной и генеральной средней не превысит 2,13*. Зная выборочную среднюю величину признака и предельную ошибку выбор- ки можно определить границы интервала, в котором заключена генеральная средняя:

8 Расчет значений предельной ошибки выборки может быть произведен с помощью стандартной функции Excel ДОВЕРИТ. ДОВЕРИТ(p; ;n) Расчет предельной ошибки выборки Пример. В результате выборочного обследования жилищных условий жителей города на основе собственно-случайной повторной выборки, получен ряд распределения: Требуется с уровнем надежности 95% определить границы интервала, в который попадает средний размер общей площади. Общая площадь, приходящаяся на 1 человека, м 2 Число жителей До и более 83

9 Расчет предельной ошибки выборки

10 Теорема Бернулли Средняя ошибка выборки для альтернативного признака: При достаточно большом объеме выборки вероятность расхождения между долей признака в выборочной совокупности (w) и долей признака в генеральной совокупности (р) будет стремиться к единице. т.е. с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки частость признака (выборочная доля) сколь угодно мало будет отличаться от доли признака в генеральной сово- купности.

11 Теорема Бернулли Предельная ошибка выборки альтернативного признака:Доверительный интервал альтернативного признака:

12 Уточнение формулы средней ошибки выборки Если отбор единиц из генеральной совокупности произведен бесповторным способом, т.е. способом при котором попавшая в выборку единица не возвращается в совокупность, то в формулы средней ошибки выборки вносится поправка: то есть:

13 Уточнение формулы средней ошибки выборки Для приведенного выше примера, если предположить, что данные являются результатом бесповторного выбора из генеральной совокупности из единиц: При большом проценте выборке влияние поправки на бесповтор- ность значительно возрастает.

14 Предельная ошибка альтернативного признака Для приведенного выше примера, определим предельную ошибку выборки для лиц, обеспеченность жильем которых составляет менее 10 м Выборочная доля: 2. Дисперсия: 3. Средняя ошибка выборки: 4. Предельная ошибка выборки:

15 Способы формирования выборочной совокупности По виду отбора Индивидуальный отбор Групповой отбор Комбинированный отбор

16 Способы формирования выборочной совокупности По методу отбора Бесповторный отбор Повторный отбор

17 Способы формирования выборочной совокупности По способу отбора Собственно – случайная выборка Механичес- кая выборка Типическая выборка Комбиниро- ванная выборка Серийная выборка

Типическая выборка 18 Выборка, пропорционально объему типических групп. 1. Число единиц, подлежащих отбору из каждой группы: 2. Средняя ошибка выборки: повторный отбор бесповторный отбор Выборка, пропорционально дифференциации признака. 1. Число единиц, подлежащих отбору из каждой группы: 2. Средняя ошибка выборки: повторный отбор бесповторный отбор

Типическая выборка 19 Пример. 10%-ный бесповторный типический отбор рабочих предприятия, пропорциональный размерам цехов, проведенный с целью оценки потерь из-за временной нетрудоспособности, привел к следующим результатам: Необходимо определить пределы среднего числа дней временной нетрудоспособности одного рабочего в целом по предприятию. Цех Всего рабо- чих Обсле- довано чело- век средняя дисперсия Число дней временной нетрудоспособности за год

20 Типическая выборка 1. Расчет пропорционально объему типических групп. Средняя из внутригрупповых дисперсий: Средняя и предельная ошибки выборки (с вероятностью 0,954): Выборочная средняя:

21 Типическая выборка 2. Расчет пропорционально дифференциации признака. Средняя и предельная ошибки выборки (с вероятностью 0,954): Необходимый объем выборки по каждому цеху:

22 Серийная выборка Средняя ошибки выборки: повторный отбор бесповторный отбор Межгрупповая дисперсия:

Определение необходимого объема выборки 23 Вид выборочного наблюдения Повторный отбор Бесповторный отбор Собственно-случайная и механическая выборки а) при определении среднего размера признака б) при определении доли признака Типическая выборка а) при определении среднего размера признака б) при определении доли признака

24 Определение необходимого объема выборки Вид выборочного наблюдения Повторный отбор Бесповторный отбор Серийная выборка а) при определении среднего размера признака б) при определении доли признака

25 Определение необходимого объема выборки Пример 1. В микрорайоне проживает 5000 семей. В порядке случайной бесповторной выборки предполагается определить средний размер семьи при условии, что ошибка выборочной средней не должна превышать 0,8 человека с вероятностью Р=0,954 и при среднем квадратичном отклонении 3,0 человека. Пример 2. Для определения средней длины детали следует провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей надо отобрать, чтобы ошибка выборки не превышала 3 мм с вероятностью 0,997 при среднем квадратическом отклонении 6 мм.

26 Определение необходимого объема выборки Пример 3. В фермерских хозяйствах области коров. Из них в районе А – 5000, в районе Б – 3000, в районе В Чтобы определить средний надой предполагается провести типическую выборку коров с про- порциональным отбором внутри групп (механическим). Какое количество коров следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5 л, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 1600? Нужно отобрать 250 коров, из них в районе А: в районе Б:в районе В:

27 Определение необходимого объема выборки Пример 4. На склад поступило 100 ящиков деталей по 80 шт. в каждом. Для установления среднего веса деталей следует провести серийную вы- борку деталей методом механического отбора так, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 2 г. На основе предыдущих обследо- ваний известно, что дисперсия серийной выборки равна 4. Определить не- обходимый объем выборки. Методики, разработанные в рамках конкретных обследований и опре- деленных способов формирования выборочной совокупности, требу-ют дальнейшего теоретического обоснования и практической провер-ки.

28 Малая выборка Распределение Стьюдента Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, числен- ность единиц которого не превышает 30. Критерий Стьюдента: где: мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке.

29 Способы нахождения критерия Стьюдента. 1. С помощью таблиц распределения Стьюдента (t - распределение): Число степеней свободы k=n-1 Уровень значимости 0,90,8…0,020,010,001 10,1580,325…31,82163,657636,619 20,1420,289…6,9659,92531,589 ………………… 90,1290,261…2,8213,2504,781 ………………… 300,1270,256…2,4572,7503,646 ………………… 1200,1260,254…2,3582,6173,373 0,1260,253…2,3262,5763,291 Малая выборка Распределение Стьюдента

30 2. С помощью стандартной функции Excel СТЬЮДРАСПОБР. СТЬДРАСПОБР(р;k). Для расчета t – распределения, т.е. значения уровня значимости при из- вестных значениях t и k, необходимо воспользоваться стандартной функ- цией Excel СТЬЮДРАСП. СТЬДРАСП(t;k;r). где r может принимать два значения : 1 или 2. При r=1 функция СТЬЮДРАСП рассчитывает одностороннее t – распределение, при r=2, двустороннее t – распределение. Малая выборка Распределение Стьюдента

31 Малая выборка Распределение Стьюдента Пример. При контрольной проверке качества поставленного в торговлю маргарина получены следующие данные о содержании консерванта Е205 в 10 пробах, %: 4,3; 4,2; 3,8; 4,3; 3,7; 3,9; 4,5; 4,4; 4,0; 3,9. Определить вероят- ность того, что среднее содержание консерванта Е205 во всей партии не выйдет за пределы 0,1% его среднего содержания в представленных пробах.