Алгоритмы арифметических действий над комплексными числами Выполнила: Ученица 10 класса ХБ МОУ лицей Г. Нижневартовска Чикмарёва Лиана.

Определение комплексных чисел Ко́мпле́ксные чи́сла расширение множества вещественных чисел. Любое комплексное число может быть представлено,как формальная сумма x + yi, где x и y вещественные числа, i мнимая единица (один из квадратных корней из числа – 1).

Действия над комплексными числами 1. Сложение комплексных чисел: Определение: Суммой комплексных чисел a + bi и a + bi называют комплексное число (a + a) + (b + b)i Примеры: а) (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i б) (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9)

в) (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i г) (-2 + 3i) + ( - 2 – 3i) = - 4 В примере г) сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Действия над комплексными числами 2. Вычитание комплексных чисел: Определение: Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a + bi (вычитаемое) называется комплексное число (a – a) + (b – b)i Примеры: а) (5 + 2i) – (3 – 5i) = 2 + 7i б) (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

Действия над комплексными числами 3. Умножение комплексных чисел: Определение: Произведением комплексных чисел a + bi и a + bi называется комплексное число (aa – bb) + (ab + ba)i Замечание: На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем отметить, что i 2 = -1 Примеры: а) (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 = 3 – 6i + 2i + 4 = = 7 – 4i

б) (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2 Пример б) показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Действия над комплексными числами 4. Деление комплексных чисел: В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение… Определение: Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a + bi – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di)=

Примеры: а) (7 – 4i):(3 + 2i) Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим: ((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i б) (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( i)) = = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a + b. Получим a + bi.