Тема: Угол между прямой и плоскостью Тема: Угол между прямой и плоскостью. Урок 2 «Решаем С2 ЕГЭ» Разработала: Куракова Е. В., учитель математики МБОУ СОШ с УИОП 38 им. Е. А. Болховитинова 11 класс физико - математического профиля

Цели : Повторить понятие угла между прямой и плоскостью Повторить понятие угла между прямой и плоскостью. Повторить методы введение координат Повторить методы введение координат Рассмотреть примеры С 2 ЕГЭ Рассмотреть примеры С 2 ЕГЭ Блитц-опрос по терминам

Повторение Задача 1. Трапеция АВСD (AD и ВС – основания) и треугольник АЕD лежат в разных плоскостях. МР – средняя линия АЕD. Чему равен угол между прямыми МР и АВ, если АВС = 110°. СВ D E M P Ответ: 70° С В А А

Напомним Угол между прямой и плоскостью

Задача С2 ЕГЭ А С В D А1А1 С1С1 В1В1 D1D1 Е F K Ответ: cosα = 0,8 Р М

Фалес Милетский Древнегреческий ученый (ок. 625 – 547 гг. до н. э.) Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. А1А1 l1l1 l2l2 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 В1В1 В2В2 В3В3 В4В4 В5В5

Е М М1М1 М2М2 М3М3 М4М4 К К1К1 К2К2 К3К3 К4К4

60 0 С2. С2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB =, SC=2. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN, где M – середина ребра AS, а N – делит ребро BC в отношении 1:2. С A B S - искомый угол 1) Из АВD: Можем найти его из МKN. Но надо найти два элемента из этого треугольника. N 1 часть 2 части D K M

60 0 С A B S N 1 часть 2 части D K M 2. Построим высоту SO. Точка О – точка пересечения биссектрис, медиан и высот правильного треугольника. Применим свойство медиан: 3. По теореме Фалеса: Две прямые перпендикулярные к плоскости (АВС) параллельны: MKII SO. М – середина SА, значит и точка K – середина АО O 4) Найдем AK:5) Найдем KD:

60 0 С A B S N 1 часть 2 части D K M 2. Построим высоту SO. Точка О – точка пересечения биссектрис, медиан и высот правильного треугольника. Применим свойство медиан: 3. По теореме Фалеса: Две прямые перпендикулярные к плоскости (АВС) параллельны: MKII SO. М – середина SА, значит и точка K – середина АО O 4) Найдем AK:5) Найдем KD:

K 60 0 С A B S N 1 часть 2 части D M O 2 3 KD N 6) Из МАK по теореме Пифагора найдем MK:? Из KDN: 7) Из МKN найдем тангенс искомого угла=3 тогда 3 3

А С В D А1А1 С1С1 В1В1 D1D1 В единичном кубе АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите тангенс угла между плоскостями ADD 1 и BDC 1 Задача 3

D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В Угол между прямой EF и плоскостью АDD 1 равен углу между EF и плоскостью ВСС 1, т. к. эти плоскости параллельны. Подсказки. 2. Угол между прямой и плоскостью равен углу между данной прямой и её проекцией на плоскость. F E BEF BF, 3. Искомый угол EFB. Е F

D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В Рассмотрим треугольник BFE. Он прямоугольный, т.к. Е F BE (ВСС 1 )BE BF Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости 4 5 Решить задачу далее можно устно! 3 3 BFВ 1 египетский треугольник. Из BFE Находим тангенс угла EFB. Это отношение противолежащего катета к прилежащему катету, т.е. BE к BF 35

С2. В основании прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катет АС в два раза больше катета ВС. Известно, что плоскость АВ 1 С составляет с плоскостью основания угол Под каким углом диагональ большей (по площади) боковой грани наклонена к плоскости основания? А С В В1В1 С1С1 А1А ВС является проекцией СВ 1 на плоскость ABC. п-я п-р 1) Построим линейный угол двугранного угла В 1 АСВ (АС – ребро двугранного угла) 2) ВС АС, ВВ 1 – перпендикуляр к плоскости ABC СВ 1 – наклонная к плоскости ABC. Применим теорему о трех перпендикулярах. СВ АС п-я Т Т П СВ 1 АС н-я н-я ВСВ 1 – линейный угол двугранного угла В 1 АСВ, который по условию равен 60 0.н-я

В основании прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катет АС в два раза больше катета ВС. Известно, что плоскость АВ 1 С составляет с плоскостью основания угол Под каким углом диагональ большей (по площади) боковой грани наклонена к плоскости основания? А С В В1В1 С1С1 А1А1 2 3) Найдем угол между диагональю большей (по площади) боковой грани и плоскостью основания. Большая по площади грань проходит через большую сторону основания – это гипотенуза. Пусть ВС = 1, тогда АС = 2. АВ 1 АB А В 1 В Угол между наклонной и плоскостью – это угол между наклонной и ее проекцией. наклонная проекция

Повторим методы введения координат в пространстве, на следующем занятии рассмотрим векторно - координатный метод решения подобных задач Единичный куб. х у z D (0; 0; 0) A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) B (1; 1; 0) D 1 (0; 0; 1) A 1 (1; 0; 1) C 1 (0; 1; 1) B 1 ( 1; 1; 1)

Прямоугольный параллелепипед. х у z D (0; 0; 0) A (a; 0; 0) C (0; b; 0) B (a; b; 0) D 1 (0; 0; c) A 1 (a; 0; c) C 1 (0; b; c) B 1 (a; b; c) a b c

Правильная шестиугольная призма. х у C F D E B A a a C (a; 0;0) F (- a; 0;0) х у z C 1 (a; 0;c) F 1 (- a; 0;c) a c

Правильная треугольная призма. С1С1 А В С А1А1 В1В1 c a х у z O

Правильная треугольная пирамида. х y O z H h

Правильная четырехугольная пирамида. a h х y z h

Правильная шестиугольная пирамида. х y z a h C (a; 0;0) F (- a; 0;0)

Домашнее задание 1. Решить три задачи на данную тему. Из 2. Повторить к следующему занятию понятия двугранного угла, а также решить: 1 В правильной четырехугольной пирамиде SAВСD все ребра равны 1. Точка М середина бокового ребра SC. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью основания. 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой BC 1 и плоскостью A 1 BC, если AA 1 = 12, AB = 6, BC = 5 3. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите тангенс угла между прямой АА 1 и плоскостью ВС 1 D.